# また、遅刻した

B = Q^{-1}AP

	T : V -> V'
	(E;\phi), (F;\psi) に対応する基底の変換行列 P
	(E';\phi'), (F;\psi') に対応する基底の変換行列 Q

	A : E, E' に関する T の行列
	B : F, F' に関する T の行列

==

[定理 5.1]
	T : V -> V'

	T(V) の基底 <e'_1, .., e'_r> を拡大して、V' の基底 <e_1, .., e_n> を作る
	T e_i = e_i' とすると、 e_1, .., e_r は独立
	Ker T = T^{-1}(o') は n-r 次元なので、その基底 <e_{r+1}, .., e_n>
	をとると、
		E = <e_1, .., e_n>
	は V の基底

	E, E' に関する T の行列 A = (a_ij) を考えると

		A = F_m,n(r)

	となる。

	# 基底を適当に取ると、色々な行列 A が出てしまうが、上の方法で、基底を工夫して、取れば、
	# A は、標準形にできる。

定義
	T : V -> V' の dim T(V) を T の階数(ランク)と呼び、 rank T で表す

[定理 5.2]
	E、E’に関する T の行列を A とすると
		rank A = rank T

	proof)
		定理 5.1 の F, F' に関する T の行列 B とすると
			B = F_m,n(r)
		となる。

			A = Q^{-1}BP

		なので、
			rank A = rank B = r = dim T(V) = rank T
		となる。

	# T に関する行列は、基底の取りかたによって、色々あるが、その rank は全て同じ

[定理 5.3] A:(m.n) 型
	A のランクは A の独立な列(行)ベクトルの最大数に等しい

	proof)
		A = ( a_1, .., a_n )
		rank A = r
	とする。
		T_A : K^n -> K^m
	とすると、
		rank T_A = dim T_A(K^n)
		  ||
		rank A = r
	なので、
		dim T_A(K^n) = r
	一方、
		T_A(e_i) = Ae_i = e_i
	だが、
		a_1, .., a_n は T_A(K^n)
	を生成する。
		# が、a_1, .., a_n が独立でなければ、基底にはならない
		#	=> 独立でない可能性があり、その場合は余分なものがある
	T_A(K^n) の次元は r なので、
		a_1, .., a_n の中から r 個の独立なものを取ることができる。

<<ランクのまとめ>>

	A : (m,n) 型 の次元の定義

	1) A を基本変形して、標準型 F_m,n(r) に変形した時に、対角線上に並ぶ 1 の個数
	2) A の 0 でない小行列式の最大次数
	3) T_A(K^m) の次元
	4) A の線型独立な列ベクトルの最大次数
	5) A の線型独立な行ベクトルの最大次数

	# 1) から 5) は、同値なので、どれを定義として利用してもよい。


# 以下、線型変換の話題

	T : V -> V 上での (E;\phi) を考える。

		# 同じ空間なので、同じ基底を使うのが普通
		# 事情で、異なる基底を採用することもある

	(E;\phi) に関する T の行列を A とする。
		# 基底が一つの場合は、同じ基底を使ったと思うことにする


		B=P^{-1}AP
			A と B は相似
			|A| = |B|
			tr A = tr A

		A : E に関する行列
		B : E に関する行列

		P 基底の取り換え行列


[定義]
	|A| を T の行列式
	tr A を T の固有和と定義


[例]
	V={ {x_n} | x_{n+2} - 3 x_{n+1} + 2 x_n = 0 }
		# これは二階の漸化式で定義されるので、二次元の線型空間

		E = <e_0, e_1>
			e_0 = { 1, 0, -2, .. }
			e_1 = { 0, 1,  3, .. }

		T : V ----> V		: 最初の要素を取り除く
		    \in    \in
		   {x_n}   {x_1,x_2,..}

		T e_0 = { 0, -2, .. } = -2 e_1
		T e_1 = { 1,  3, .. } = e_0 + 3 e_1

	よって、T の E に関する行列 A は、

		A = (  0  1 )
		      -2  3

	となる。

		F = <f_0, f_1>
			f_0 = { 1, 1, 1, .. }
			f_1 = { 1, 2, 4, .. }

	をかんがえると、
		E -> F
	の取り換え行列 P は、

			f_0 = e_0 +   e_1
			f_1 = e_0 + 2 e_2

	を利用して、
		P = ( 1 1 )
		      1 2
	逆行列は
		P^{-1} = ( 2 -1 )
		           -1 2
	よって、
		F に関する T の行列 B は、
			B = P^{-1}AP
		なので、
			B = ( 1 0 )
			      0 2
	となる。

	# これの応用を考えると、.. B が対角化されているので...

	この B の結果から、

		T f_0 = f_0
		T f_1 = 2 f_1

	となるので、

		f_0 は、一つずらしても f_0 のままだから
			f_0 = { 1, 1, 1, ... } = {1}
		
		f_1 は、一つずらすと 2 f_1 と二倍になるから
			f_1 = { 1, 2, 4, ... } = {2^n}

	一方、<f_0,f_1> は基底なので、
		\forall {x_n} \in V \exist α, β s.t.
			{x_n} = α f_0 + β f_1
			      = { α + β 2^n }
	となり、一般型を得ることができる。


	V = { y = f(x) | D^2 y - 3 Dy + 2y = 0 }
		D f_0(x) = f_0(x) より f_0(x) = e^x
		D f_1(x) = 2 f_1(x) より f_0(x) = e^{2x}

		f(x) = α e^x + β e^{2x}


==

[定義]
	T : V -> V
	W \sub V : 部分空間
で、
	T(W) \sub W
の時、
	W は T による不変部分空間 ( T-不変 ) と呼ぶ

この時、
	W の基底 <e_1, .., e_r>
を拡大して、
	V の基底 <e_1, .., e_r,e_{r+1},..,e_n>
が作れ、
	E に関する T の行列 A = (a_ij)
は、

	A = ( A_11 | A_12 )
	      -----+------
	       O   | A_22

の形になる。

	T|W ( T の W への制限 ) を考えると
		T|W の <e_1, .., e_r> に関する行列は、A_11 となる

# 更に特別な場合

	V = W (+) W' ( 直和 )
	W, W' は共に、T-不変の時

この時、
	<e_1, .., e_r> : W の基底
	<e_{r+1}, .., e_n> : W' の基底
とすると
	E = <e_1, .., e_n> は V の基底で、

	E に関する T の行列は

	      A_11  O
	A = ( ----+---- )
	       O   A_22

	となる。

	T|W' に対応する行列は A_22 となる。

	# これは、二つの場合だけでなく、一般に n 個の場合でも同様に計算できる

[例]
	V = P_n(K)

	T_b : V -------> V
	     \in        \in
	     f(x) |-> f(x+b)

	W = P_m(K) ( m < n )
		# これは V の部分空間になっている

	<具体例>
		V = P_2(K)	<1,x,x^2>
		W = P_1(K)	<1,x>

		T_b (1)   =              1	
		T_b (x)   =          x + b
		T_b (x^2) = x^2 + 2b x + b^2	

	よって、

		      1 b b^2
		A = ( 0 1 2b  )
		      0 0 1

		# 実は (m<n) となる任意の m について、下が 0 にするには、
		# A が階段行列になる必要がある

	となる。

==

今週で、今年の内容は終り、来週は、章末問題の落ち穂拾い

<試験に出る>
	基底の取り換え行列		P
	線型変換に対応する行列	A

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