# また、遅刻

4.
	A : (l,m) 型, B : (m,n) 型
の時、
	rank A + rank B - m \le rank AB \le min(rank A, rank B)

proof)
	T_B(K^n) = W
とする。

	rank AB = dim T_{AB}(K^n)
		= dim T_A(T_B(K^n))
		= dim T_A(W)
		\le dim W = dim T_B(K^n) = rank B
すなわち
	rank AB \le rank B
一方、
	rank AB = dim T_A(W) \le dim T_A(K^n) = rank A
よって、
	rank AB は rank A, rank B の双方より小さいので、与えらた命題の右辺が成立。

	rank B - rank AB  =  dim W - dim T_A(W) = dim W \cap T_A^[-1}(0)
			 \le dim T_A^[-1}(0)
			  = dim K^m - dim T_A(K^n)
			  = m - rank A
よって、
	rank A + rank B - m \le rank AB
なので、左辺が成立。

# 利用しているのは、
#	rank A = dim T_A(K^n)
#	n = rank A + dim T_A^{-1}(0) 
# の二つだけ。

## 後、
##	A \sub B => rank A \le rank B
## も利用。


5.
	| rank A - rank B | \le rank ( A + B ) \le rank A + rank B

proof)
	A の中の独立な列ベクトルの個数を p 個、そのベクトルを a_i ( i = 1 .. p )
	B の中の独立な列ベクトルの個数を q 個、そのベクトルを b_j ( j = 1 .. q )
とする。
	A + B の列ベクトルは、a_i と b_j の線型和で表現できる
よって、
	rank(A+B) \le p + q
これで、右辺が成立。

これより、
	rank A  =  rank ( A + B - B )
	       \le rank (A+B) + rank(-B)
	        = rank (A+B) + rank(B)
よって、
	rank A - rank B \le rank (A+B)
A と B を交換して、
	rank B - rank A \le rank (A+B)
よって、
	| rank A - rank B | \le rank (A+B)
これで、左辺が成立する。

6.
	A : (m,n)
	B : (n,m)
		m < n
とする。
	イ) AB は正則でない

	proof)
		rank A \le min (m,n) = m
		rank B \le m
	より、4. から
		rank AB \le m < n
	よって、
		rank AB \ne n
	ここで、BA は n 次正方行列なので、
		BA が正則 <-> rank BA = n
	であるが、
		rank AB \ne n
	なの、AB は正則でない

	ロ) AB は m 次正方行列
		AB が正則 <-> rank AB = m
	なので、AB が正則になるための条件は、
		m = rank AB \le min( rank A, rank B ) \le m
	であり、
		rank A \le m
		rank B \le m
	なので、すくなくても
		rank A = m, rank B = m
	でなければならない。
	# しかし、これは必要条件でしかなく、十分でないので、もう少し条件を調べる

		rank AB = m = dim (K^m)
		  ||
		dim T_{AB}(K^m)
	よって、
		Ker T_{AB} = {0}
	よって、
		T_B(K^m) \cap T_A^{-1}(0) = {0}
	ということで、
		AB が正則である
			<->
				rank A = m
				rank B = m
				T_B(K^m) \cap T_A^{-1}(0) = {0}

==

試験の話

	後期の成績は主に、今回の試験の結果を利用する

	範囲 : 二章の終りから p.119 まで
		行列のはなしがすこし
		行列式
		線型空間
			基底の取り換え行列
			線型写像の行列