同型構造

空間とは
集合 A と A 上の演算の対 <A,{演算}> [ システムと考えてもよい ]
例 : 線形空間 -> A:平面ベクトル, A 上の演算: 定数倍やベクトル和
A, B が同型とは
集合 A, B が演算「・」に関して同型
A と B の間に全単射(一対一,上へ)の対応ψ(同型対応)があり
A 内の演算「・」と B 内の演算「・」がψに対して可換
ψ(a・b)=ψ(a)・ψ(b)
例: 平面ベクトル (x,y) と複素数(x+yi) :  線形空間として同型
同型対応 : ψ((x,y)) = x+yi
演算 (定数倍や和) : ψ(c(x,y))=ψ((cx,cy))=cx+cyi=c(x+yi)=cψ((x,y))
同型の利用
同型な場合は、一方の性質を他方の空間で調べる事ができる
例 : 平面ベクトルの性質を複素数で調べる事ができる
例 : 自然数の性質をペアノの形式の数で調べる事ができる