同型構造

空間とは
集合 A と A 上の演算の対 <A,{演算}> [ システムと考えてもよい ]
例 : 線形空間 -> A:平面ベクトル, A 上の演算: 定数倍やベクトル和
空間<A,・> と <B,*> が同型とは
A と B の間に全単射(一対一,上へ)の対応ψ(同型対応)があり
A 内の演算「・」と B 内の演算「＊」がψに対して可換
ψ(a・b)=ψ(a)＊ψ(b)
例: 平面ベクトル(<x,y>) と、複素数 (x+yi) :  線形空間として同型
同型対応 : ψ(<x,y>) = x+yi
演算 (定数倍や和) の可換性 :
ψ(c<x,y>)=ψ(<cx,cy>)=cx+cyi=c(x+yi)=cψ(<x,y>)
ψ(<u,v>+<p,q>)=ψ(<u+p,v+q>)=(u+p)+(v+q)i=(u+vi)+(p+qi)=ψ(<u,v>)+ψ(<p,q>)
同型の利用
同型な場合は、一方の性質を他方の空間で調べる事ができる
例 : 平面ベクトルの性質を複素数で調べる事ができる
例 : 自然数の性質をペアノの形式の数で調べる事ができる