%%
%%
%%
\documentclass[a4j]{jsarticle}
%%
%%
%%
\input{../lib/macro.tex}
\input{../lib/useemath.tex}
%%
%%
%%
\title{�󼡸��٥��ȥ�����Ѥ�����}
\author{%
����Ӱ�%
\thanks{%
������������������ز�{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}}
%%
%%
%%
\input{sankaku.tex}
%%
%%
%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
���Ѥ��ܼ��ϡ���ľ��ʬ���������ʿ����ʬ���̤���Ф����ˤ��롣

ʿ�̤Υ٥��ȥ�����Ѥ�����˸���� $\cos{\theta}$ �ϡ�
ñ�ˡ�$\theta=0$ (¨��ʿ��) �λ��� $1$,
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ (¨������ľ) �λ��� $0$,
�ˤʤäƤ��������������ܼ��ǡ��������������ǡ�
���Ѥ�������Ƴ�������򼨤���
\end{abstract}
%%
%%
%%
\section{����}
\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\BekutoruDraw%
\end{picture}%
\caption{�٥��ȥ������}\label{Fig1}}
��ĤΥ٥��ȥ�$\beku{a},\beku{b}$ �������Ѥ�$\theta$ �Ȥ���ȡ�
������ĤΥ٥��ȥ������ $\beku{a}\cdot\beku{b}$ �ϡ������ͤ�
�������롣
\begin{equation}
\beku{a}\cdot\beku{b}=|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
\end{equation}
\end{Fmawarikomi}

\section{���Ѥ�����}

���Ѥ������Ǥ����������ϡ����Ѥ��ܼ�Ū������
\footnote{
�󼡸�ʿ�̥٥��ȥ���֤δ���$<\beku{b_i}>\, (i=1,2)$��Ϳ���顢
������Ф��ơ��������ȡ�
$\beku{b_i}\cdot^{*}\beku{b_i}=\delta_{i,j}$
���ꤹ��С���������Ѥ����������(�����ˤϴ�����Ѵ���Ԥ�����)��
�⹻�ǳؤ֡����ѡפϡ�
���δ���� $<(1,0),(0,1)>$(����ľ�����) ����������˲᤮�ʤ���

�ޤ���������������������ζ��֤˷���(Ĺ���ȡ�����)��Ƴ�����Ƥ������
���դ��롣
���ʤ������Ĺ���פ䡢�ֳ��١פ�
����$<\beku{b_i}>\, (i=1,2)$��
�ˤ�äƷ��ꤷ�Ƥ⡢̷��������ʤ�
(���ޤ�Ĥ������������Τ褦�˺������դ˸������ܤ��äƤ��Ƥ⡢
���λ��˵����դ����ϤǤ��ʤ�)��

���������ϡ����׳ؤΰ���ʬ�Ϥ����Ѥ���Ƥ��롣
}
�ʤΤǡ�����򼨤����ˤ��롣

\subsection{������}

$k$ ��Ǥ�դμ¿���
$
\beku{a},\beku{a_1}, \beku{a_2},
\beku{b},\beku{b_1}, \beku{b_2},
$
��Ǥ�դΥ٥��ȥ�Ȥ������������������Ω���롣
��������Ѥ�{\em ������}�ȸƤ֡�
\begin{eqnarray}
(k\beku{a})\cdot\beku{b}
&=
k(\beku{a}\cdot\beku{b})
=&
\beku{a}\cdot(k\beku{b})
\\
(\beku{a_1}+\beku{a_2})\cdot\beku{b}
&=&
(\beku{a_1}\cdot\beku{b})+(\beku{a_2}\cdot\beku{b})
\\
\beku{a}\cdot(\beku{b_1}+\beku{b_2})
&=&
(\beku{a}\cdot\beku{b_1})+(\beku{a}\cdot\beku{b_2})
\end{eqnarray}

����ȡ���������({\em ��ˡ§})�����٥��ȥ�����Ѥ������Ȥ��ơ�
�ɤ����Ѥ���롣
\begin{eqnarray}
\beku{a}\cdot\beku{b}
&=&
\beku{b}\cdot\beku{a}
\end{eqnarray}

\subsection{���Ѥ������ξ���}

�嵭�ǵ󤲤����Ѥ�������������롣
���������������������ϡ�ľ�ˤϼ��������Ǥ��ʤ��Τǡ�
�ޤ������Ĥ�������򼨤���������Ѥ��ơ���������������롣

\subsubsection{��ˡ§}

��ˡ§�ϡ�
�����ͤ˼��������Ǥ��롣

$\beku{a}, \beku{b}$ ��Ǥ�դΥ٥��ȥ�Ȥ���
�����������٤� $\theta$ �Ȥ��롣
���λ���$\beku{b}, \beku{a}$
�������Ѥ���$-\theta$ �ˤʤ�������Ѥ���ȡ�

\begin{eqnarray*}
\beku{a} \cdot \beku{b}
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
\\
&=&
|\beku{b}||\beku{a}|\cos{\theta}
\\
&=&
|\beku{b}||\beku{a}|\cos{(-\theta)}
\\
&=&
\beku{b} \cdot \beku{a}
\end{eqnarray*}

�Ȥʤ롣

���θ�ˡ§����Ω����Τǡ�
$\beku{a}$ ¦����Ω�������Ƥ������ϡ�
$\beku{b}$ ¦�Ǥ���Ω������ˤʤ�Τǡ�
�ʲ��Ǥϡ�$\beku{a}$ ¦������������롣

\subsubsection{�����}

���Ѥ�������ܤ򳰤˽Ф����ϡ���ñ�˼��������Ǥ��롣

$\alpha$ ��Ǥ�դμ¿���
$\beku{a}, \beku{b}$
��Ǥ�դΥ٥��ȥ롢
$\theta$ �򡢤�����ĤΥ٥��ȥ�������ѤȤ������

\begin{eqnarray*}
(\alpha \beku{a}) \cdot \beku{b}
&=&
|\alpha \beku{a}| |\beku{b}| \cos{\theta}
\\
&=&
(\alpha |\beku{a}|) |\beku{b}| \cos{\theta}
\\
&=&
\alpha (|\beku{a}| |\beku{b}| \cos{\theta})
\\
&=&
\alpha (\beku{a}\cdot\beku{b})
\end{eqnarray*}

�Ȥʤ롣

\subsubsection{ʿ�Ԥȿ�ľ�ξ�������}

\begin{eqnarray}
\beku{a}\heikou\beku{b}
&\Rightarrow&
\beku{a}\cdot\beku{b}=|\beku{a}||\beku{b}| \label{exp1}
\\
\beku{a}\perp\beku{b}
&\Rightarrow&
\beku{a}\cdot\beku{b}=0 \label{exp2}
\end{eqnarray}

����ϡ�
���Τ褦�˼�����롣

$\beku{a}\heikou\beku{b}$
�ʤ�С�
$\theta=0$
�Ǥ��롣
���äơ�
$
\beku{a}\cdot\beku{b}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{0}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cdot1
=
|\beku{a}||\beku{b}|
$
�Ȥʤ롣

�ޤ���
$\beku{a}\perp\beku{b}
$
�ʤ�С�
$\theta=\frac{\pi}{2}$
�Ǥ��롣
���äơ�
$
\beku{a}\cdot\beku{b}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cdot0
=
0
$
�Ȥʤ롣

�ޤ������λ����顢
$\beku{a}\heikou\beku{b}, \beku{c}\heikou\beku{b}$
�ʤ�С�
$\beku{a}\heikou\beku{c}$
�Ȥʤ�Τǡ�
$(\beku{a}+\beku{c})\heikou\beku{b}$
�Ȥʤ�������Ѥ���ȡ�
\begin{eqnarray*}
(\beku{a}+\beku{c})\cdot\beku{b}
&=&
|\beku{a}+\beku{c}||\beku{b}|\cos{0}
\\
&=&
(|\beku{a}|+|\beku{c}|)|\beku{b}|
\\
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|+|\beku{c}||\beku{b}|
\\
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{0}+|\beku{c}||\beku{b}|\cos{0}
\\
&=&
(\beku{a}\cdot\beku{b})+(\beku{c}\cdot\beku{b})
\end{eqnarray*}
�ȡ��¤򳰤˽Ф��롣

�ޤ���
$\beku{a}\perp\beku{b}, \beku{c}\perp\beku{b}$
�ʤ�С�
$\beku{a}\heikou\beku{c}$
�Ȥʤ�Τǡ�
$(\beku{a}+\beku{c})\perp\beku{b}$
�Ȥʤ�������Ѥ���ȡ�

\begin{eqnarray*}
(\beku{a}+\beku{c})\cdot\beku{b}
&=&
|\beku{a}+\beku{c}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}
\\
&=&
0
\\
&=&
0+0
\\
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}+|\beku{c}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}
\\
&=&
(\beku{a}\cdot\beku{b})+(\beku{c}\cdot\beku{b})
\end{eqnarray*}
�ȡ���Ϥꡢ�¤򳰤˽Ф��롣

\subsubsection{ʿ�Ԥȿ�ľ�Υ٥��ȥ��¤Ȥ�����}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,4)%
\BekutoruDraw%
\tenretu{H(2,0.1)s}%
\Hasen{\A\H}
{\thicklines
\ArrowLine<putstr=[s]{$\beku a_{\heikou}$}>\O\H
\ArrowLine<putstr=[e]{$\beku a_{\bot}$}>\H\A
}
\Tyokkakukigou(10)\A\H\B%
\end{picture}%
\caption{��ľʬ��}\label{Fig2}}
$\beku{a}$ ����
$\beku{b}$ ��ʿ�Ԥ�
$\beku{a_{\heikou}}$
�ȡ�
$\beku{b}$ �˿�ľ��
$\beku{a_{\bot}}$
���¤�ɽ���Ǥ����Ȥ��롣
���ʤ����
$\beku{a}=\beku{a_{\heikou}}+\beku{a_{\bot}}$
�Ȥ��롣

���λ������ޤ��顢
$
\beku{a}\cdot\beku{b}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
=
(|\beku{a}|\cos{\theta})|\beku{b}|
=
|\bekutoru{OH}||\beku{b}|
=
|\beku{a_{\heikou}}||\beku{b}|
$
�Ȥʤ������롣

���λ��ϡ�����Ū�ˡ����Τ褦���¤����˽Ф���ȸ����������Ǥ��롣

$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ �ˡ�
ʿ�Ԥ� $\beku{a_{\heikou}}$ �ȡ�
��ľ�� $\beku{a_{\bot}}$ 
���¤�ɽ������Ƥ���Ȥ��롣
���λ�����������(�¤򳰤˽Ф�)������Ω�ġ�

\begin{eqnarray*}
(\beku{a_{\heikou}}+\beku{a_{\bot}})\cdot\beku{b}
&=&
\beku{a_{\heikou}}\cdot\beku{b}
\\
&=&
\beku{a_{\heikou}}\cdot\beku{b} + 0
\\
&=&
\beku{a_{\heikou}}\cdot\beku{b}
+
\beku{a_{\bot}}\cdot\beku{b}
\end{eqnarray*}

\end{Fmawarikomi}

\subsubsection{�ߤ˿�ľ�ʥ٥��ȥ�Ʊ�Τ���Ω��}

����$\beku{a},\beku{b}$ �򡢶��� $\beku{0}$ �Ǥʤ��٥��ȥ�Ȥ���
�ߤ�ľ�򤷤Ƥ��롢
���ʤ����$\beku{a}\cdot\beku{b}=0$ �Ȥ��롣
���λ���$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ �ϡ���Ω�����٥��ȥ�Ǥ��롣

����ϼ��Τ褦�ˡ������Ǥ��롣

���ޡ�����¿� $\alpha, \beta$ �����Ѥ��ơ�
$\alpha \beku{a} + \beta \beku{b} = \beku{0}$
����Ω�����Ȳ��ꤹ�롣

����ȡ�����ξ�դΤ��줾��� $\beku{a}$ �Ȥ����Ѥ���ȡ�
$\beku{a}$ �� $\beku{a}$ ���Ȥ�ʿ�ԤǤ��ꡢ
�ޤ��������ꡢ
$\beku{b}$ �� $\beku{a}$ �ȿ�ľ�ʤΤǡ�
$\beku{0} = (\alpha \beku{a})+(\beta \beku{b})$
�ϡ�
$\beku{a}$ ���Ф��ơ�
$\beku{0}$ ��ʿ�������ȿ�ľ�����ؤ�ʬ��ˤʤäƤ��롣

���äơ�ʿ�������ȿ�ľ�����ؤ��¤�������ꡢ
���Τ褦�˷׻��Ǥ��롣

\begin{eqnarray*}
\beku{a}\cdot(\alpha \beku{a} + \beta \beku{b}) &=& \beku{a}\cdot\beku{0}
\\
\alpha (\beku{a}\cdot\beku{a}) + \beta(\beku{a}\cdot\beku{b}) &=& 0
\\
\alpha |\beku{a}|^2 + \beta(0) &=& 0
\\
\alpha |\beku{a}|^2 &=& 0
\end{eqnarray*}

�����ǡ������� $\beku{a}\ne\beku{0}$ �ʤΤǡ�$|\beku{a}|^2\ne0$ �Ǥ��롣
�����ǡ�ξ�դ� $|\beku{a}|^2$ �Ǥ��ȡ�

\begin{eqnarray*}
\alpha &=& 0
\end{eqnarray*}

�Ȥʤ롣Ʊ�ͤˡ�ξ�դ� $\beku{b}$ �Ȥ����Ѥ�Ȥ�С�

\begin{eqnarray*}
\beta &=& 0
\end{eqnarray*}

�������롣

$\alpha \beku{a} + \beta \beku{b} = \beku{0}$
���ꤹ���
$\alpha = \beta = 0$
������줿�Τǡ�
$\beku{a}$ �� $\beku{b}$
����Ω�Ǥ��롣

���äơ�
$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ �ϡ�
ʿ�̥٥��ȥ���֤δ���ȤʤäƤ��롣

\subsubsection{��ľ�ʥ٥��ȥ��¸��}

$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ ����
����$\beku{0}$ �Ǥʤ���
���ġ�ʿ�ԤǤ�ʤ��Ȥ��롣

����ȡ�
$
\displaystyle
\beku{a_{\heikou}}
=
\frac{(\beku{a}\cdot\beku{b})}{|\beku{b}|^2}\beku{b}
$
�Ȥ���
$
\displaystyle
\beku{a_{\bot}}
=
\beku{a}-\beku{a_{\heikou}}
$
�Ȥ���С�
$\beku{a_{\bot}}$
�ϡ�
$\beku{0}$ �Ǥʤ� $\beku{b}$ �ȿ�ľ�Ǥ��롣

\subsubsection{���̤Υ٥��ȥ�����Ѥ���}

$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ ����
����$\beku{0}$ �Ǥʤ�������ʿ�ԤǤ�ʤ��Ȥ��롣
����ȡ������ $\beku{a_{\bot}}$ ����
$\beku{0}$ �Ǥʤ� $\beku{b}$ �ȿ�ľ�Ǥ��롣
���äơ�$\beku{b}$ �� $\beku{a_{\bot}}$ ����Ω�Ǥ��롣
��äơ�
Ǥ�դΥ٥��ȥ� $\beku{c}$ ���Ф���
Ŭ���ʼ¿� $\alpha_c, \beta_c$ ��¸�ߤ���
$\beku{c}=\alpha_c\beku{a_{\bot}}+\beta_c\beku{b}$
�ȡ�������ĤΥ٥��ȥ�������¤�ɽ���Ǥ��롣
�������$\beku{a}$ ��
$\displaystyle
1\cdot \beku{a_{\bot}}
+ 
\beku{a_{\heikou}}
=
1\cdot\beku{a_{\bot}}
+ 
\frac{(\beku{a}\cdot\beku{b})}{|\beku{b}|^2}\cdot\beku{b}
$
�Ȥʤ롣

�������������Ѥ���ȡ����Τ褦�ˤ��ơ�Ǥ�դ�
$\beku{a}, \beku{c}, \beku{b}$
���Ф��ơ����Τ褦���¤򳰤˽Ф��������롣

�褺��
$\displaystyle
\beku{e_1}=\beku{a_{\bot}},
\beku{e_2}=\beku{b},
\alpha_{a}=1,
\beta_{a}=\frac{(\beku{a}\cdot\beku{b})}{|\beku{b}|^2}
$
���֤��С�
$
\beku{e_1}\perp\beku{b},
\beku{e_2}\heikou\beku{b}
$
�Ȥʤ�Τǡ�
��������Ѥ���ȡ������ꡢ
\begin{eqnarray*}
(\beku{a}+\beku{c}) \cdot \beku{b}
&=&
(
(\alpha_a\beku{e_1}+\beta_a\beku{e_2})
+
(\alpha_c\beku{e_1}+\beta_c\beku{e_2})
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
\alpha_a\beku{e_1}+\beta_a\beku{e_2}
+
\alpha_c\beku{e_1}+\beta_c\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
(
\alpha_a\beku{e_1}
+
\alpha_c\beku{e_1}
)
+
(
\beta_a\beku{e_2}
+
\beta_c\beku{e_2}
)
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
(
\alpha_a
+
\alpha_c
)
\beku{e_1}
+
(
\beta_a
+
\beta_c
)
\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
(
\alpha_a
+
\alpha_c
)
\beku{e_1}
)
\cdot \beku{b}
+
(
(
\beta_a
+
\beta_c
)
\beku{e_2}
)
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
0
+
(
(
\beta_a
+
\beta_c
)
\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
\beta_a\beku{e_2}
+
\beta_c\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
\beta_a\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
+
\beta_c\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
0
+
\beta_a\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
+
(
0
+
\beta_c\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
\\
&=&
(
\alpha_a\beku{e_1}
\cdot \beku{b}
+
\beta_a\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
+
(
\alpha_c\beku{e_1}
\cdot \beku{b}
+
\beta_c\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
\\
&=&
(
(
\alpha_a\beku{e_1}
+
\beta_a\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
)
+
(
(
\alpha_c\beku{e_1}
+
\beta_c\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
)
\\
&=&
(
\beku{a}
\cdot \beku{b}
)
+
(
\beku{c}
\cdot \beku{b}
)
\end{eqnarray*}

�Ȥʤꡢ�¤򳰤˽Ф��������롣

\subsubsection{���Ѥ�������}

�ʾ�ǡ����̤Υ٥��ȥ���Ф��ơ�
����ܤ򳰤˽Ф����ȡ��¤򳰤˽Ф�������������ǽ�ʤΤǡ�
{\em ���Ѥ������������}
�Ȥ����롣

\section{�ޤȤ�}

���Ѥ���������
���Ѥ��������Ƴ�����
��\ref{exp1}, ��\ref{exp2} �������������Ѥ��ƾ���������
������󡢤����μ���$\cos{\theta}$ ����������
�������櫓�Ǥ��뤬�������μ��ϡ����Ѥ�����ĤΥ٥��ȥ뤬
��ʿ�ȿ�ľ�ξ������ξ��δط��Ǥ��ꡢ
���ѤΤ���¾�γ��٤ξ������������Ѥ��Ƥ��ʤ�
\footnote{
�������ˡ�Ĺ���ȳ��٤����������Ѥ��Ƥ��롣
}
��

���Τ褦�ˡ����Ѥ������ϡ����Ȥʤ�٥��ȥ�
\footnote{��������Ѥη׻���Ԥ���ĤΥ٥��ȥ�Τɤ�������򤷤Ƥ�
����ʤ��Τǡ����ιƤǤϡ���Ĥ��ơ���¦���������
������󡢸�ˡ§����Ω����Τǡ���¦������Ǥ�����Ʊ���������Ǥ��롣}
���Ф���
��ľ����ʬ��Τơ���ʿ����ʬ����Ф������ܼ�Ū�������Ǥ�������狼�롣

�������äơ�$\cos{\theta}$ ��Ȥ��ΤǤϤʤ���
��ʿ����ľ�ʥ٥��ȥ���Ф������Ѥ���(��\ref{exp1}, ��\ref{exp2})�ȡ�
���ξ�������������������Ϳ������С�
Ǥ�դΥ٥��ȥ���Ф����������������롣

\end{document}
