%%
%%
%%
\documentclass[a4j]{jsarticle}
%%
%%
%%
\input{../lib/macro.tex}
\input{../lib/useemath.tex}
%%
%%
%%
\title{�񎟌��x�N�g���̓��ς̐���}
\author{%
�I��r��%
\thanks{%
���{��w���H�w�����w��{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}}
%%
%%
%%
\input{sankaku.tex}
%%
%%
%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
���ς̖{���́A������������菜���A���s�����̗ʂ����o�����ɂ���B

���ʂ̃x�N�g���̓��ς̒�`�Ɍ���� $\cos{\theta}$ �́A
�P�ɁA$\theta=0$ (�������s) �̎��� $1$,
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ (�����A����) �̎��� $0$,
�ɂȂ��Ă��鐫���������{���ŁA���̐��������ŁA
���ς̐�����������鎖�������B
\end{abstract}
%%
%%
%%
\section{����}
\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\BekutoruDraw%
\end{picture}%
\caption{�x�N�g���̓���}\label{Fig1}}
��̃x�N�g��$\beku{a},\beku{b}$ �̐����p��$\theta$ �Ƃ���ƁA
���̓�̃x�N�g���̓��� $\beku{a}\cdot\beku{b}$ �́A���̗l��
��`�����B
\begin{equation}
\beku{a}\cdot\beku{b}=|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
\end{equation}
\end{Fmawarikomi}

\section{���ς̐���}

���ς̐����ł���o���`�́A���ς̖{���I�Ȑ���
\footnote{
�񎟌����ʃx�N�g����Ԃ̊��$<\beku{b_i}>\, (i=1,2)$���^����A
����ɑ΂��āA�o���`�ƁA
$\beku{b_i}\cdot^{*}\beku{b_i}=\delta_{i,j}$
�����肷��΁A����͓��ς̐���������(�ؖ��ɂ͊��̕ϊ����s������)�B
���Z�Ŋw�ԁu���ρv�́A
���̊��� $<(1,0),(0,1)>$(���K�������) ��I�񂾏ꍇ�ɉ߂��Ȃ��B

�܂��A���̑I�ѕ����A���̋�ԂɌv��(�����ƁA�p�x)�𓱓����Ă��鎖��
���ӂ���B
���Ȃ킿�A�u�����v��A�u�p�x�v���A
���$<\beku{b_i}>\, (i=1,2)$��
�ɂ���Č��肵�Ă��A�����͐����Ȃ�
(���܂���A���̐��E�̂悤�ɍ��E���t�Ɍ�����ڂ������Ă��Ă��A
���̎��ɋC���t�����͂ł��Ȃ�)�B

���̐����́A���v�w�̈��q���͂ŗ��p����Ă���B
}
�Ȃ̂ŁA������������ɂ���B

\subsection{�o���`}

$k$ ��C�ӂ̎����A
$
\beku{a},\beku{a_1}, \beku{a_2},
\beku{b},\beku{b_1}, \beku{b_2},
$
��C�ӂ̃x�N�g���Ƃ��鎞�A���̓�������������B
�������ς�{\em �o���`}�ƌĂԁB
\begin{eqnarray}
(k\beku{a})\cdot\beku{b}
&=
k(\beku{a}\cdot\beku{b})
=&
\beku{a}\cdot(k\beku{b})
\\
(\beku{a_1}+\beku{a_2})\cdot\beku{b}
&=&
(\beku{a_1}\cdot\beku{b})+(\beku{a_2}\cdot\beku{b})
\\
\beku{a}\cdot(\beku{b_1}+\beku{b_2})
&=&
(\beku{a}\cdot\beku{b_1})+(\beku{a}\cdot\beku{b_2})
\end{eqnarray}

����ƁA���̐���({\em �����@��})���A�x�N�g���̓��ς̐����Ƃ��āA
�ǂ����p�����B
\begin{eqnarray}
\beku{a}\cdot\beku{b}
&=&
\beku{b}\cdot\beku{a}
\end{eqnarray}

\subsection{���ς̐����̏ؖ�}

��L�ŋ��������ς̐������ؖ�����B
�������A�o���`�̐����́A���ɂ͎��������ł��Ȃ��̂ŁA
�܂��A����̕��������A�����p���āA���`�����ؖ�����B

\subsubsection{�����@��}

�����@���́A
���̗l�Ɏ��������ł���B

$\beku{a}, \beku{b}$ ��C�ӂ̃x�N�g���Ƃ��A
���̐����p�x�� $\theta$ �Ƃ���B
���̎��A$\beku{b}, \beku{a}$
�̐����p���A$-\theta$ �ɂȂ鎖�𗘗p����ƁA

\begin{eqnarray*}
\beku{a} \cdot \beku{b}
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
\\
&=&
|\beku{b}||\beku{a}|\cos{\theta}
\\
&=&
|\beku{b}||\beku{a}|\cos{(-\theta)}
\\
&=&
\beku{b} \cdot \beku{a}
\end{eqnarray*}

�ƂȂ�B

���̌����@������������̂ŁA
$\beku{a}$ ���Ő�������S�Ă̐����́A
$\beku{b}$ ���ł��������鎖�ɂȂ�̂ŁA
�ȉ��ł́A$\beku{a}$ ���������c�_����B

\subsubsection{�萔�{}

���ς��A�萔�{���O�ɏo�����́A�ȒP�Ɏ��������ł���B

$\alpha$ ��C�ӂ̎����A
$\beku{a}, \beku{b}$
��C�ӂ̃x�N�g���A
$\theta$ ���A���̓�̃x�N�g���̐����p�Ƃ��鎞�A

\begin{eqnarray*}
(\alpha \beku{a}) \cdot \beku{b}
&=&
|\alpha \beku{a}| |\beku{b}| \cos{\theta}
\\
&=&
(\alpha |\beku{a}|) |\beku{b}| \cos{\theta}
\\
&=&
\alpha (|\beku{a}| |\beku{b}| \cos{\theta})
\\
&=&
\alpha (\beku{a}\cdot\beku{b})
\end{eqnarray*}

�ƂȂ�B

\subsubsection{���s�Ɛ����̏ꍇ�̓���}

\begin{eqnarray}
\beku{a}\heikou\beku{b}
&\Rightarrow&
\beku{a}\cdot\beku{b}=|\beku{a}||\beku{b}| \label{exp1}
\\
\beku{a}\perp\beku{b}
&\Rightarrow&
\beku{a}\cdot\beku{b}=0 \label{exp2}
\end{eqnarray}

����́A
���̂悤�Ɏ������B

$\beku{a}\heikou\beku{b}$
�Ȃ�΁A
$\theta=0$
�ł���B
�]���āA
$
\beku{a}\cdot\beku{b}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{0}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cdot1
=
|\beku{a}||\beku{b}|
$
�ƂȂ�B

�܂��A
$\beku{a}\perp\beku{b}
$
�Ȃ�΁A
$\theta=\frac{\pi}{2}$
�ł���B
�]���āA
$
\beku{a}\cdot\beku{b}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cdot0
=
0
$
�ƂȂ�B

�܂��A���̎�����A
$\beku{a}\heikou\beku{b}, \beku{c}\heikou\beku{b}$
�Ȃ�΁A
$\beku{a}\heikou\beku{c}$
�ƂȂ�̂ŁA
$(\beku{a}+\beku{c})\heikou\beku{b}$
�ƂȂ鎖�𗘗p����ƁA
\begin{eqnarray*}
(\beku{a}+\beku{c})\cdot\beku{b}
&=&
|\beku{a}+\beku{c}||\beku{b}|\cos{0}
\\
&=&
(|\beku{a}|+|\beku{c}|)|\beku{b}|
\\
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|+|\beku{c}||\beku{b}|
\\
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{0}+|\beku{c}||\beku{b}|\cos{0}
\\
&=&
(\beku{a}\cdot\beku{b})+(\beku{c}\cdot\beku{b})
\end{eqnarray*}
�ƁA�a���O�ɏo����B

�܂��A
$\beku{a}\perp\beku{b}, \beku{c}\perp\beku{b}$
�Ȃ�΁A
$\beku{a}\heikou\beku{c}$
�ƂȂ�̂ŁA
$(\beku{a}+\beku{c})\perp\beku{b}$
�ƂȂ鎖�𗘗p����ƁA

\begin{eqnarray*}
(\beku{a}+\beku{c})\cdot\beku{b}
&=&
|\beku{a}+\beku{c}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}
\\
&=&
0
\\
&=&
0+0
\\
&=&
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}+|\beku{c}||\beku{b}|\cos{\frac{\pi}{2}}
\\
&=&
(\beku{a}\cdot\beku{b})+(\beku{c}\cdot\beku{b})
\end{eqnarray*}
�ƁA��͂�A�a���O�ɏo����B

\subsubsection{���s�Ɛ����̃x�N�g���a�Ƃ̓���}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,4)%
\BekutoruDraw%
\tenretu{H(2,0.1)s}%
\Hasen{\A\H}
{\thicklines
\ArrowLine<putstr=[s]{$\beku a_{\heikou}$}>\O\H
\ArrowLine<putstr=[e]{$\beku a_{\bot}$}>\H\A
}
\Tyokkakukigou(10)\A\H\B%
\end{picture}%
\caption{��������}\label{Fig2}}
$\beku{a}$ ���A
$\beku{b}$ �ɕ��s��
$\beku{a_{\heikou}}$
�ƁA
$\beku{b}$ �ɐ�����
$\beku{a_{\bot}}$
�̘a�ŕ\���ł����Ƃ���B
���Ȃ킿�A
$\beku{a}=\beku{a_{\heikou}}+\beku{a_{\bot}}$
�Ƃ���B

���̎��A�E�}����A
$
\beku{a}\cdot\beku{b}
=
|\beku{a}||\beku{b}|\cos{\theta}
=
(|\beku{a}|\cos{\theta})|\beku{b}|
=
|\bekutoru{OH}||\beku{b}|
=
|\beku{a_{\heikou}}||\beku{b}|
$
�ƂȂ鎖������B

���̎��́A�`���I�ɁA���̂悤�Șa���O�ɏo����ƌ��􂷎����ł���B

$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ �ɁA
���s�� $\beku{a_{\heikou}}$ �ƁA
������ $\beku{a_{\bot}}$ 
�̘a�ŕ\������Ă���Ƃ���B
���̎��A���̓���(�a���O�ɏo��)�����藧�B

\begin{eqnarray*}
(\beku{a_{\heikou}}+\beku{a_{\bot}})\cdot\beku{b}
&=&
\beku{a_{\heikou}}\cdot\beku{b}
\\
&=&
\beku{a_{\heikou}}\cdot\beku{b} + 0
\\
&=&
\beku{a_{\heikou}}\cdot\beku{b}
+
\beku{a_{\bot}}\cdot\beku{b}
\end{eqnarray*}

\end{Fmawarikomi}

\subsubsection{�݂ɐ����ȃx�N�g�����m�̓Ɨ���}

���A$\beku{a},\beku{b}$ ���A���� $\beku{0}$ �łȂ��x�N�g���Ƃ��A
�݂ɒ������Ă���A
���Ȃ킿�A$\beku{a}\cdot\beku{b}=0$ �Ƃ���B
���̎��A$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ �́A�Ɨ������x�N�g���ł���B

����͎��̂悤�ɁA�ؖ��ł���B

���܁A������� $\alpha, \beta$ �𗘗p���āA
$\alpha \beku{a} + \beta \beku{b} = \beku{0}$
�����������Ɖ��肷��B

����ƁA���̗��ӂ̂��ꂼ��� $\beku{a}$ �Ƃ̓��ς����ƁA
$\beku{a}$ �� $\beku{a}$ ���g�ƕ��s�ł���A
�܂��A������A
$\beku{b}$ �� $\beku{a}$ �Ɛ����Ȃ̂ŁA
$\beku{0} = (\alpha \beku{a})+(\beta \beku{b})$
�́A
$\beku{a}$ �ɑ΂��āA
$\beku{0}$ �̕��s�����Ɛ��������ւ̕����ɂȂ��Ă���B

�]���āA���s�����Ɛ��������ւ̘a�̐������A
���̂悤�Ɍv�Z�ł���B

\begin{eqnarray*}
\beku{a}\cdot(\alpha \beku{a} + \beta \beku{b}) &=& \beku{a}\cdot\beku{0}
\\
\alpha (\beku{a}\cdot\beku{a}) + \beta(\beku{a}\cdot\beku{b}) &=& 0
\\
\alpha |\beku{a}|^2 + \beta(0) &=& 0
\\
\alpha |\beku{a}|^2 &=& 0
\end{eqnarray*}

�����ŁA������ $\beku{a}\ne\beku{0}$ �Ȃ̂ŁA$|\beku{a}|^2\ne0$ �ł���B
�����ŁA���ӂ� $|\beku{a}|^2$ �ł��ƁA

\begin{eqnarray*}
\alpha &=& 0
\end{eqnarray*}

�ƂȂ�B���l�ɁA���ӂ� $\beku{b}$ �Ƃ̓��ς��Ƃ�΁A

\begin{eqnarray*}
\beta &=& 0
\end{eqnarray*}

��������B

$\alpha \beku{a} + \beta \beku{b} = \beku{0}$
�����肷���
$\alpha = \beta = 0$
������ꂽ�̂ŁA
$\beku{a}$ �� $\beku{b}$
�͓Ɨ��ł���B

�]���āA
$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ �́A
���ʃx�N�g����Ԃ̊��ƂȂ��Ă���B

\subsubsection{�����ȃx�N�g���̑���}

$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ ���A
����$\beku{0}$ �łȂ��A
���A���s�ł��Ȃ��Ƃ���B

����ƁA
$
\displaystyle
\beku{a_{\heikou}}
=
\frac{(\beku{a}\cdot\beku{b})}{|\beku{b}|^2}\beku{b}
$
�Ƃ��A
$
\displaystyle
\beku{a_{\bot}}
=
\beku{a}-\beku{a_{\heikou}}
$
�Ƃ���΁A
$\beku{a_{\bot}}$
�́A
$\beku{0}$ �łȂ� $\beku{b}$ �Ɛ����ł���B

\subsubsection{��ʂ̃x�N�g���̓��ς̘a}

$\beku{a}$ �� $\beku{b}$ ���A
����$\beku{0}$ �łȂ��A�����s�ł��Ȃ��Ƃ���B
����ƁA�O�߂� $\beku{a_{\bot}}$ ���A
$\beku{0}$ �łȂ� $\beku{b}$ �Ɛ����ł���B
�]���āA$\beku{b}$ �� $\beku{a_{\bot}}$ �͓Ɨ��ł���B
����āA
�C�ӂ̃x�N�g�� $\beku{c}$ �ɑ΂��A
�K���Ȏ��� $\alpha_c, \beta_c$ �����݂��A
$\beku{c}=\alpha_c\beku{a_{\bot}}+\beta_c\beku{b}$
�ƁA���̓�̃x�N�g���̐��`�a�ŕ\���ł���B
�������A$\beku{a}$ ��
$\displaystyle
1\cdot \beku{a_{\bot}}
+ 
\beku{a_{\heikou}}
=
1\cdot\beku{a_{\bot}}
+ 
\frac{(\beku{a}\cdot\beku{b})}{|\beku{b}|^2}\cdot\beku{b}
$
�ƂȂ�B

���̐����𗘗p����ƁA���̂悤�ɂ��āA�C�ӂ�
$\beku{a}, \beku{c}, \beku{b}$
�ɑ΂��āA���̂悤�ɘa���O�ɏo���鎖������B

�悸�A
$\displaystyle
\beku{e_1}=\beku{a_{\bot}},
\beku{e_2}=\beku{b},
\alpha_{a}=1,
\beta_{a}=\frac{(\beku{a}\cdot\beku{b})}{|\beku{b}|^2}
$
�ƒu���΁A
$
\beku{e_1}\perp\beku{b},
\beku{e_2}\heikou\beku{b}
$
�ƂȂ�̂ŁA
����𗘗p����ƁA������A
\begin{eqnarray*}
(\beku{a}+\beku{c}) \cdot \beku{b}
&=&
(
(\alpha_a\beku{e_1}+\beta_a\beku{e_2})
+
(\alpha_c\beku{e_1}+\beta_c\beku{e_2})
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
\alpha_a\beku{e_1}+\beta_a\beku{e_2}
+
\alpha_c\beku{e_1}+\beta_c\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
(
\alpha_a\beku{e_1}
+
\alpha_c\beku{e_1}
)
+
(
\beta_a\beku{e_2}
+
\beta_c\beku{e_2}
)
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
(
\alpha_a
+
\alpha_c
)
\beku{e_1}
+
(
\beta_a
+
\beta_c
)
\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
(
\alpha_a
+
\alpha_c
)
\beku{e_1}
)
\cdot \beku{b}
+
(
(
\beta_a
+
\beta_c
)
\beku{e_2}
)
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
0
+
(
(
\beta_a
+
\beta_c
)
\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
\beta_a\beku{e_2}
+
\beta_c\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
\\
&=&
\beta_a\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
+
\beta_c\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
\\
&=&
(
0
+
\beta_a\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
+
(
0
+
\beta_c\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
\\
&=&
(
\alpha_a\beku{e_1}
\cdot \beku{b}
+
\beta_a\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
+
(
\alpha_c\beku{e_1}
\cdot \beku{b}
+
\beta_c\beku{e_2}
\cdot \beku{b}
)
\\
&=&
(
(
\alpha_a\beku{e_1}
+
\beta_a\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
)
+
(
(
\alpha_c\beku{e_1}
+
\beta_c\beku{e_2}
)
\cdot \beku{b}
)
\\
&=&
(
\beku{a}
\cdot \beku{b}
)
+
(
\beku{c}
\cdot \beku{b}
)
\end{eqnarray*}

�ƂȂ�A�a���O�ɏo���鎖������B

\subsubsection{���ς̐��`��}

�ȏ�ŁA��ʂ̃x�N�g���ɑ΂��āA
�萔�{���O�ɏo�����ƁA�a���O�ɏo�����̑o�����\�Ȃ̂ŁA
{\em ���ς͐��`��������}
�Ƃ�����B

\section{�܂Ƃ�}

���ς̐��`�����A
���ς̒�`���瓱�����
��\ref{exp1}, ��\ref{exp2} �̐���������p���ďؖ������B
�������A�����̎���$\cos{\theta}$ �̐�������
�������킯�ł��邪�A�����̎��́A���ς�����̃x�N�g����
�����Ɛ����̏ꍇ�����̏ꍇ�̊֌W�ł���A
���̑��̏ꍇ�̐����͗��p���Ă��Ȃ��B

���̂悤�ɁA���ς̐����́A��ƂȂ�x�N�g��
\footnote{����͓��ς̌v�Z���s����̃x�N�g���̂ǂ����I�����Ă�
�\��Ȃ��̂ŁA���̍e�ł́A����āA�E����I�񂾁B
�������A�����@������������̂ŁA������I��ł��S�������c�_���ł���B}
�ɑ΂��A
�����Ȑ������̂āA�����Ȑ��������o�������{���I�Ȑ����ł��鎖���킩��B

���������āA$\cos{\theta}$ ���g���̂ł͂Ȃ��A
�����A�����ȃx�N�g���ɑ΂�����ς̒l(��\ref{exp1}, ��\ref{exp2})�ƁA
���̏ꍇ�����̐��`���������^������΁A
�C�ӂ̃x�N�g���ɑ΂�����`����������B

\end{document}
