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\documentclass[a4j]{jsarticle}
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\input{../lib/useemath.tex}
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\title{余弦定理}
\author{%
栗野俊一%
\thanks{%
日本大学理工学部数学科{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}}
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\input{../lib/sankaku.tex}
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\begin{document}
\maketitle
\section{余弦定理}
\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\SankakuDraw%
\end{picture}%
\caption{余弦定理}\label{Fig1}}
右の図\ref{Fig1} の$\sankaku{ABC}$ において、
辺 BC, CA, AB の長さを、
それぞれ $a, b, c$ とし、
$\kaku{BAC}$ の大きさを
$\alpha$ とする時、
次の式\ref{余弦定理}の関係を{\em 余弦定理}と呼ぶ。
\begin{equation}
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{\alpha} \label{余弦定理}
\end{equation}
\end{Fmawarikomi}

\section{余弦定理の証明}

余弦定理の証明を、
三平方の定理を用いて示す場合と、
ベクトルの内積を用いて示す場合の二つの例を示す。

\subsection{三平方の定理を用いる場合}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\SankakuDraw%
\tenretu{H(2,0.1)s}%
\Drawlines{\B\H}%
\Tyokkakukigou(10)\B\H\C%
\end{picture}%
\caption{三平方の定理の利用}\label{Fig2}}
元の図\ref{Fig1}の頂点 B から、底辺 AC に垂線を下し、
その足
\footnote{
頂点から底辺に引いた垂線と、その底辺との交点を「垂線の{\em 足}」と呼ぶ。
}
を H とすると、右の図(図\ref{Fig2}) のようになる。

$\sankaku{ABH}$ は、直角三角形となるので、
$\kaku{BAH}=\kaku{BAC}=\alpha$
の三角比を用いて、
辺 AH, BH を、それぞれ、次のように表す事ができる。
\begin{eqnarray}
{\rm AH}
&=&
c\cos{\alpha}\label{AH}
\\
{\rm BH}
&=&
c\sin{\alpha}\label{BH}
\end{eqnarray}
一方、$\sankaku{BHC}$ も直角三角形となるので、
三平方の定理により、
\begin{eqnarray}
a^2 &=& {\rm BH}^2 + {\rm HC}^2 \label{三平方:a}
\end{eqnarray}
が成立する。
図\ref{Fig2}の関係から、
${\rm HC=b-AH}$ が成り立つ事を利用して、
上記の式 \ref{三平方:a}を変形すると、
次のようになる。
\begin{eqnarray*}
a^2
&=&
{\rm BH}^2 + {\rm HC}^2
\\
&=&
(c\sin{\alpha})^2 + (b-c\cos{\alpha})^2
\\
&=&
c^2\sin^2{\alpha} + b^2 - 2bc\cos{\alpha} + c^2\cos^2{\alpha}
\\
&=&
b^2 + c^2 ( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} ) - 2bc\cos{\alpha}
\\
&=&
b^2 + c^2 - 2bc\cos{\alpha}
\end{eqnarray*}
よって、
\begin{eqnarray*}
a^2
&=&
b^2 + c^2 - 2bc\cos{\alpha}
\end{eqnarray*}
すなわち、余弦定理(式\ref{余弦定理})が成立する。
\end{Fmawarikomi}

\subsection{ベクトルの内積を用いる場合}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\ZahyouDef%
\Drawlines{\B\C}%
{\thicklines
\ArrowLine<putstr=[w]{\beku c}>
\A\B
\ArrowLine<putstr=[s]{\beku b}>
\A\C
}
\end{picture}%
\caption{ベクトルの内積の利用}\label{Fig3}}
元の図\ref{Fig1}に対して、
右図\ref{Fig3}のように、
ベクトル $\bekutoru{AC}, \bekutoru{AB}$ を、
それぞれ $\beku{b}, \beku{c}$ で表す事にする。
すると、図\ref{Fig1}と図\ref{Fig3}の関係から、
ベクトルの長さと、辺の長さの間には、
次のような関係が成立する。
\begin{eqnarray*}
|\beku{b}| &=&|\bekutoru{AC}|={\rm AC}={\rm CA}=b
\\
|\beku{b}-\beku{c}|&=&|\bekutoru{BC}|={\rm BC}=a
\\
|\beku{c}|&=&|\bekutoru{AB}|={\rm AB}=c
\end{eqnarray*}
これを利用して、次の様な関係式が導ける。
\begin{eqnarray*}
a^2
&=&
|\bekutoru{BC}|^2
\\
&=&
\bekutoru{BC}\cdot\bekutoru{BC}
\\
&=&
(\beku{b}-\beku{c})\cdot(\beku{b}-\beku{c})
\\
&=&
\beku{b}\cdot\beku{b}
-
\beku{b}\cdot\beku{c}
-
\beku{c}\cdot\beku{b}
+
\beku{c}\cdot\beku{c}
\\
&=&
|\beku{b}|^2
+
|\beku{c}|^2
-
2
\beku{b}\cdot\beku{c}
\\
&=&
b^2
+
c^2
-
2|\beku{b}||\beku{c}|\cos{\alpha}
\\
&=&
b^2
+
c^2
-
2bc\cos{\alpha}
\end{eqnarray*}
よって、式\ref{余弦定理}が示された。
\end{Fmawarikomi}
\end{document}
