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\documentclass[a4j]{jsarticle}
%%
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\input{../lib/useemath.tex}
\input{../lib/macro.tex}
%%
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%%
%%
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%%
\newcommand{\DSet}[2]{\left\{#1\left|#2\right.\right\}}
\newcommand{\FracIK}[1]{\frac{#1}{2^k}}
\newcommand{\DPoint}[2]{\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\StepI}{\left[\FracIK{i}, \FracIK{i+1}\right]}

\newcommand{\DVec}[2]{%
\left(
\begin{array}{c}
#1
\\
#2
\end{array}
\right)
}

%%
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%%
\title{図形の極限と計量 \\ {\large --- $2=\sqrt{2}$ ?? の疑問 --- }}
\author{%
栗野俊一%
\thanks{%
日本大学理工学部数学科{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}}
%%
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%%
\input{figs.tex}
%%
%%
%%
\begin{document}
\maketitle
\section{$2=\sqrt{2}$ ?? の疑問}
\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(10,8)%
\def\O{(1,0)}
\def\A{(9,0)}
\def\B{(9,8)}
\def\C{(1,8)}
\Drawline{\O\A\B\C\O\B}
%\def\D{(0.1,0)}
\def\E{(1.05,4)}
\def\F{(5,4)}
\def\G{(5,7.95)}
%\def\H{(8,7.95)}
\Hasen[L=0.5mm,G=0.5mm]{\O\E\F\G\B}
%\def\I{(0.1,0)}
\def\J{(1.1,2)}
\def\K{(3,2)}
\def\L{(3,3.9)}
\def\M{(5,4)}
\def\N{(5.1,6)}
\def\P{(7,6)}
\def\Q{(7,7.9)}
%\def\R{(8,7.9)}
\Hasen[L=1mm,G=1mm]{\O\J\K\L\M\N\P\Q\B}
\end{picture}%
\caption{斜線に近付く階段線}\DefFig{Fig1}}
右の図(\RefFig{Fig1})では、左下から右上への階段線
$S_k$
の段数が $1, 2, 4, .., 2^k, ..$ 段と、
$2$ 倍、$2$ 倍に増えて行く様子を示している。

この段数($2^k$)を無限に増やして行くと、この階段線($S_k$)は、
次第に、対角線($D$)に近付いて行くことが見て取れる。

つまり、この階段線$S_k$は、
「図形として、最終的に対角線$D$と一致する」様に思われる。

これを「\RefCnj{対角線への収束}」と呼ぼう。

\begin{eqnarray}

\lim_{k\rightarrow \infty} S_k = D
\,
(\mbox{階段線は対角線に近付く})\DefCnj{対角線への収束}
\end{eqnarray}

そして、
図形 $F$ の長さを $\phi(F)$ で表すとすれば、
一般に「図形が同じならば、長さも同じ(\RefCms{図形と長さの関係})」
なはずである。

\begin{eqnarray}
F_1 \equiv F_2 \Rightarrow \phi(F_1)=\phi(F_2)
\,
(\mbox{同じ図形の長さは同じ})
\DefCms{図形と長さの関係}
\end{eqnarray}

すると、上の\RefCnj{対角線への収束}と、
この\RefCms{図形と長さの関係}を組み合わせると、
次の「\RefCnj{長さの収束}」が浮んでくる。

\begin{eqnarray}
\lim_{k\rightarrow\infty}\phi(S_k)=\phi(D)
\,
(\mbox{階段線の長さは対角線の長さに近付く})
\DefCnj{長さの収束}
\end{eqnarray}

しかし、この正方形の一辺の長さを $1$ とするならば、
各々の階段線($S_k$)の長さは、
階段の段数に無関係に $2$ となるし、
また、対角線の長さは $\sqrt{2}$ である。

すると、「\RefCnj{長さの収束}」が正しいのであれば、
これから、次の「\RefRst{矛盾}」となってしまう。

\begin{eqnarray}
\mbox{階段線($S_k$)の長さ}
&=&
\phi(S_k)
\nonumber
\\
&=&
2
\nonumber
\\
\mbox{斜線($D$)の長さ}
&=&
\phi(D)
\nonumber
\\
&=&
\sqrt{2}
\nonumber
\\
&&\mbox{(\RefCnj{長さの収束}が成立するなら..)}
\nonumber
\\
2&=&
\lim_{k\rightarrow\infty}2=\lim_{k\rightarrow\infty}\phi(S_k)=\phi(D)=\sqrt{2}
\nonumber
\\
&&\mbox{(即ち)}
\nonumber
\\
2&=&\sqrt{2}\, \mbox{???}\DefRst{矛盾}
\end{eqnarray}

これは明らかに、{\em どこかに誤りがあった}としか考えられない。

では、
この \RefCnj{対角線への収束} から \RefRst{矛盾} 迄の推論の間に、
どんな誤りがあったであろうか ?
\end{Fmawarikomi}

\section{個々の命題の確認}

推論の問題点に触れる前に、まずは、個々の命題の内容を確認してみよう。

\subsection{「\RefCnj{対角線への収束}:階段線($S_k$)は対角線($D$)に収束する」か ?}

\subsubsection{直観:「そのように{\em 見え}る事」の危うさ}

元の図(\RefFig{Fig1})を見る限り、確かに
「階段線($S_k$)は対角線($D$)に収束する(\RefCnj{対角線への収束})」
ように{\em 見え}る。
しかし、「そのように{\em 見え}るならば、そうなる」と考えて良いのだろうか ?

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(10,2)%
\tenretu{
$a_1$(10.99,0.2)n;
$a_2$(5.99,0.2)n;
$a_3$(3.49,0.2)n;
$a_4$(2.24,0.2)n;
$a_5$(1.62,0.8)n;
$a_6$(1.31,1.6)n;
O(1.0,0)s;
P(11.0,0.0)s
}
\Drawlines{\O\P}
\Drawlines{(10.99,0.2)(10.99,0.0)}
\Drawlines{(5.99,0.2)(5.99,0.0)}
\Drawlines{(3.49,0.2)(3.49,0.0)}
\Drawlines{(2.24,0.2)(2.24,0.0)}
\Drawlines{(1.62,0.8)(1.62,0.0)}
\Drawlines{(1.31,1.6)(1.31,0.0)}
\Drawlines{(1.01,0.2)(1.01,0.0)}
\Drawlines{(1.0,0.2)(1.0,0.0)}
\end{picture}%
\caption{$0.01$ に収束する点列}\label{Fig2}}
右の図(図\ref{Fig2})は、$0.01$ に収束する数列
$\displaystyle
\left\{
a_n = 0.01 + \frac{1}{2^{n-1}}
\right\}
$
を、図示した物である。
しかし、「この数列は、$0.0$ に収束する数列の様に{\em 見え}る」気もする。
ならば、「この数列は、$0.0$ に収束する」と考えて良いのだろうか ?

確かに、「$0.0$ も、$0.01$ も似たような物」であるかもしれないが、
数学的には、これは別物である。

例えば、数列
$
\displaystyle
\left\{
b_n=\frac{1}{a_n}
\right\}
$
を考えてみよう。
もし、
$
\displaystyle
\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0.01
$
であれば、
$
\displaystyle
\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = 100
$
であるが、
$
\displaystyle
\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0
$
であれば、
$
\displaystyle
\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \infty
$
なわけで、
もちろん、「有限と無限」では大きな違いである。
\end{Fmawarikomi}

もし、「階段線($S_k$)は対角線($D$)に収束する(\RefCnj{対角線への収束})」
を主張するのであれば、
きちんと、その事を厳密に表現し、数学的に証明すべきである。

\subsubsection{「同じ図形」とは ?}

二つの「図形が同じである」という事はどうゆうことなのだろうか ?
これは、一般に、次のように定義すればよさそうである。

\begin{eqnarray}
\mbox{「図形」とは「点」の集合である(「点」は、座標で表現される)}
\DefDef{図形}
\end{eqnarray}

そして、もちろん、
「図形が等しい」という事は「(その図形を作る点の)集合が等しい」と考えてよいだろう。

さて、ここで、対角線$(D)$並びに、階段線($S_k$)を、
この集合の言葉で表現してみよう。

\begin{eqnarray}
\mbox{対角線} D
&=&
\{ (x,x) | x \in [0,1] \}
\\
\mbox{階段線} S_k
&=&
\bigcup_{i=0}^{2^k-1}(V^k_i \cup H^k_i)
\\
&&
 \left(
\mbox{ただし}
V^k_i
=
\DSet{\DPoint{\FracIK{i}}{y}}{y\in\StepI}
, \,
H^k_i
=
\DSet{\DPoint{x}{\FracIK{i}}}{x\in\StepI}
\right)
\nonumber
\end{eqnarray}

この定義から、次のような事が解る。

\begin{eqnarray}
D \cap S_k
&=&
\DSet{(x,x)}{x = \frac{i}{2^k}\, ( i = 0, 1, .., 2^k )}
\end{eqnarray}

この事から、
確かに段数($2^k$) が増えれば、共通する(重なる)点
$
\displaystyle
\DPoint{\FracIK{i}}{\FracIK{i}}
\,
(i=0,1,..,2^k)
$
は増えて行く事が解る。
しかし、$D$ には、
$
\displaystyle
P_{\frac{\pi}{4}}=\DPoint{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{4}}
$
の様に{\em 無理数を座標に持つような点}も存在するが、
$
D \cap S_k
$
には、
そのような点は含まれない(座標に現れるのは有理数のみである)。

即ち、$P_{\frac{\pi}{4}} \in D$ であるが、
$P_{\frac{\pi}{4}} \not\in S_k$ であるので、
次の\RefRst{集合として不一致}が得られる。

\begin{eqnarray}
\mbox{$S_k$ が、図形(点の集合)として、$D$ に一致する事はない}
\DefRst{集合として不一致}
\end{eqnarray}

\subsubsection{各点収束}

「ちょっと待って、\RefRst{集合として不一致}って
いっても、
積分の時に、この階段線で、対角線を近似しているじゃないか ???」

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(10,8)%
\def\O{(1,0)}
\def\A{(9,0)}
\def\B{(9,8)}
\def\C{(1,8)}
\Drawline{\O\A\B\C\O\B}
\Drawline{(3,0)(3,2)(5,2)}
\Drawline{(5,0)(5,4)(7,4)}
\Drawline{(7,0)(7,6)(9,6)}
\end{picture}%
\caption{$y=x$ の積分の近似}\DefFig{Fig2}}
確かに、
右の図(\RefFig{Fig2})の様に、
底辺と右辺と対角線(直線$y=x$)で囲まれた図形の
面積を、複数の長方形の和で近似するという事が行われている。

\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1} x\, dx
&=&
\lim_{k\rightarrow\infty}
 \FracIK{1}
\sum_{i=0}^{2^k-1} \FracIK{i}
\DefRst{積分における近似}
\end{eqnarray}

そして、
図形 $G$ の面積を $\psi(G)$ で表すとすれば、
一般に「図形が同じならば、面積も同じ(\RefCms{図形と面積の関係})」
だから、
\RefRst{積分における近似}
が成立するのではなかったのか ??

\begin{eqnarray}
G_1 \equiv G_2 \Rightarrow \psi(G_1)=\psi(G_2)
\,
(\mbox{同じ図形の面積は同じ})
\DefCms{図形と面積の関係}
\end{eqnarray}
\end{Fmawarikomi}

もちろん、これは間違っている。
確かに、「図形が等しければ、面積が等しい(\RefCms{図形と面積の関係})」
は正しいが、逆、すなわち「面積が等しいからといって図形が等しい」
わけではない。

この積分の例でも、「図形は異るが、面積は一致する」事が示され
\footnote{
もちろん、示す事(一致の証明)ができる。
}
れば問題はない。

ただ、確かに、
集合として一致しない(\RefRst{集合として不一致})としても、
$D$ と $S_k$
の間には
{\em 何らかの関係}
(「同じ」にならないとしても何か「近くなる」といった..)
があると考えられる。

実際、次のような事を考えてみると、
確かに $S_k$ が、ある意味で $D$ に{\em 近くなる}事が示される。

まず、二つの図形 $S_k, D$ を、
共に、次の様な形でパラメータ表記(\RefDef{パラメータ表記})する。

\begin{eqnarray}
S_k&=& \DSet{(x_k(t),y_k(t))}{t \in [0,1]} \DefDef{パラメータ表記}
\\
D&=& \DSet{(x(t),y(t))}{t \in [0,1]}
\end{eqnarray}

すると、関数 $x(t), y(t), x_k(t), y_k(t)$ を上手く取る
\footnote{
例えば、対角線 $D$ 上の点を、
\[
\DVec{x(t)}{y(t)}
=
\DVec{t}{t}
\]
とし、
その対角線上のそれぞれの点 $(x(t),y(t))=(t,t)$ に対して、
その点を通り、傾き $-1$ の直線を引く。
そして、その直線と、階段線 $S_k$ の交点の座標が
$(x_k(t),y_k(t))$ 
となるように、関数 $x_k(t), y_k(t)$ をそれぞれ、次のように定義する。
\[
\DVec{x_k(t)}{y_k(t)}
=
\left\{
\begin{array}{cc}
\DVec{\frac{2i}{2^{k+1}}}{2t-\frac{2i}{2^{k+1}}}
&
\left(
t \in \left[\frac{2i}{2^{k+1}},\frac{2i+1}{2^{k+1}}\right]
\right)
\\
\DVec{2t-\frac{2i+1}{2^{k+1}}}{\frac{2(i+1)}{2^{k+1}}}
&
\left(
t \in \left[\frac{2i+1}{2^{k+1}},\frac{2(i+1)}{2^{k+1}}\right]
\right)
\end{array}
\right.
\,
(i=0,1,..,2^k-1)
\]
すると、このパラメータ表示において、
\RefRst{各点収束}
が成立する。
}
事により、次の事が言える。

\begin{eqnarray}
\forall t \in [0,1]
\lim_{k\rightarrow\infty}(x_k(t),y_k(t)) = (x(t), y(t))
\DefRst{各点収束}
\end{eqnarray}

すなわち、
$D$ の任意の点$(x,y)$ に対して、
$S_k$ 上の点$(x_k(t),y_k(t))$ が対応し、
点列
$\{(x_k(t),y_k(t))\}\, (k=0,1,..)$
が、元の点
$(x(t),y(t))$
に収束する
(各点収束)
ようにできる。

\subsubsection{改めて「階段線($S_k$)は対角線($D$)に収束」するか ?}

これまでの結果をまとめると、
$S_k$ は、$D$ に一致はしない(\RefRst{集合として不一致})が、
各点収束(\RefRst{各点収束})はする事が解った。

つまり、{\em ある観点}
\footnote{
「各点収束」という考え方を{\em 導入}する事によって、
初めて「『収束する』と{\em 言えるようになった}」事に注意しよう。

逆の言い方をすれば、「このような定義を導入しない」と、
「収束する等とはいえない」わけで、
「直観的に、収束するような{\em 気がす}る」では駄目なわけである。
}
で、「収束する(\RefCnj{対角線への収束}が成立する)」事は解った。
つまり、ある意味、「直観は正しかった」といえるだろう。

しかし、逆に、「一致はしていない」わけで、
この「収束」と「一致」との違いを考えて行こう。

\subsection{「\RefCms{図形と長さの関係}:同じ図形の長さは同じ」か ?}

そもそも、
「同じ図形の長さは同じ{\RefCms{図形と長さの関係}}」
に疑問を持つ事自身が変かもしれないが、
しかし、前節でも、明らかになったように、
「直観的に正しく感じるからといって、実際に正しいとは限らない」
わけであるから、
この常識も確認すべきであろう。

実際に、「長さ」は「図形の属性」なのだから、
「図形が同じならば、その属性も等しいはずだ」
は、動かし難い事実として受け入れてもよいだろう。

しかし、ここで、注意したいのは、この推論の「仮定」すなわち、
「長さが図形の属性」なのか ?
更に言うならば、
「全ての『図形』に『長さ』が決る」のか ?
という疑問である。

例えば、「半径が 1cm の球」の「長さ」とはなんだろうか ?
「そんな事は無意味な問いだ」と決め付ける事はできる。

しかし、では、「二つの『半径が 1cm の球の長さ』は等しいか ?」
という疑問には、どう答えるのだろうか ?
「同じ図形の長さは同じ(\RefCms{図形と長さの関係})」
を{\em 無条件}に認めるのであれば、
当然、
「二つの『半径が 1cm の球の長さ』は等しいか ?」という問には、
「はい」と答えなければならないだろう。
「『半径が 1cm の球の長さ』には意味がない」にも拘わらずである。

これは、流石に不毛な議論であろう。

つまり、{\rm 正確} には
「その図形に属性としての長さが定義されており、それが求める事ができた」
場合に、
「同じ図形の長さは同じ(\RefCms{図形と長さの関係})」
と主張しなければならないわけである。

つまり、(前節で、「同じ図形」、「収束する」を定義しないと、
明確な議論ができなかったのと同様に..)
「長さを定義するという作業」なしに、
「同じ図形の長さは同じ(\RefCms{図形と長さの関係})」
という主張の真偽の検討もできないわけである。

そこで、ここでは、一般的に採用されている長さの定義
\cite{弧長}
を、次のように導入する事にしよう。

今、図形 $S_k$ が、
パラメータ表記(\RefDef{パラメータ表記})されているとしよう。

そして、図形 $S_k$ の{\em 長さ}を、次のように定義(\RefDef{長さ})する。

\begin{eqnarray}
\phi(S_k)
&=&
\lim_{n\rightarrow \infty}{
\sum_{j=0}^{n-1}
\sqrt{
\left(x_k\left(\frac{j+1}{n}\right)-x_k\left(\frac{j}{n}\right)\right)^2
+
\left(y_k\left(\frac{j+1}{n}\right)-y_k\left(\frac{j}{n}\right)\right)^2
}
}
\DefDef{長さ}
\end{eqnarray}

すなわち、図形 $S_k$ 上に、$n+1$ 個の点列を取り、
この点列の隣り合う二点間の距離を求め、
その総和を計算すると、その点列を結ぶ折線の長さを得る事ができる。

点列の個数 $n+1$ を無限に大きくし、点列間の距離が小くすると、
この折線の長さは、曲線 $S_k$ の長さに次第に近付く事が解る。

{\em この定義に従って}、$S_k$, $D$ のそれぞれの{\em 長さ}を求めると、
これは、直観と等しく、それぞれ、$2$ と $\sqrt{2}$ となる事が解る。

また、この定義に従って、図形に長さがある事が解れば、
「長さが等しいかどうか」も議論できるようになる。

\subsection{「\RefCnj{長さの収束}:階段線の長さは対角線の長さに近付く」か ?}

\subsubsection{「近付く」と「同じ」は「近い」が「同じ」でない}

図形 $S_k$ が、ある意味で、$D$ に近付く事は解った。
また、$S_k$にも$D$ にも長さがあり、それを比較する(同じかどうかを考える)事に
意味がある事も解った。

では、改めて、考えよう。
「\RefCnj{長さの収束}:階段線の長さは対角線の長さに近付く」のだろうか ?

ここで注意すべき事は、
「図形が近付く」という事と「長さが近付く」という事は、
{\em 別である}という事だ。

前節で述べたように長さは、図形の属性である。
そして、ある図形列がある図形に収束した時に、
その図形列が持つ性質や属性が、収束によっても破壊されず、保存され、
収束した図形に引き継がれるかどうかは、自明ではない。

例えば、数列
$\displaystyle
\left\{
a_n=\frac{1}{n}
\right\}
$
を考えてみよう。
この数列の要素 $a_n$ は、
任意の $n$ に対して、正であるという性質($a_n>0$) が成り立つ。

その一方、この数列は明らかに $0$ に収束する (
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0
$
)
。
しかし、もちろん、収束先の $0$ に対しては $0\not>0$ となり、
この正であるという性質は成り立たず、極限操作によって失われてしまう。

すなわち、極限操作によって、元々の列の全ての要素が保持していた性質であっても、
それが、収束先でも保存されるという保証はなく、
寧ろ、一般には失われると考えた方がよい。

そして、長さという属性も然りである。
確かに $S_k$ の長さは、全ての $k$ について $2$ であるが、
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} S_k
$
の長さが $2$ であるという保証は何もない
\footnote{
「ある性質が極限操作によって失われない」という状況は、
大変望ましい状況である。
何故ならば、もし、「それが成り立つ」のであれば、
「その性質を持つ特定な要素を
指定するのに、その要素を{\em 直接指定} する代りに、その
要素に収束する{\em 要素列で指定}しても構わない」からである。
これは、「その特定な要素が直接指定しにくい(例えば、
問題の答えのようにその正体が明確でなく、これから求める場合)
場合に、{\em 他の形で表す事ができる}」事を意味するからである。
}
。

したがって、もし、「これが $2$ である事を示したい」のであれば、
それ(は、自動的には成り立たないのであるのだから、それ)を明示的に
示す必要がある。

\subsubsection{$S_k$ の長さと $D$ の長さの比較}

さて、では何が起きているかを考えてみよう。
ここで、示したい事は、

\begin{eqnarray*}
\mbox{$S_k$ の長さの極限}
&=&
\mbox{$D$ の長さ}
\\
\lim_{k\rightarrow\infty} \phi(S_k)
&=&
\phi(D)
\\
\lim_{k\rightarrow\infty} \phi(S_k)
&=&
\phi\left(\lim_{k\rightarrow\infty} S_k\right)
\end{eqnarray*}

である。
この式から、明確化された事は、
この示したい事は、
「極限処理」と「長さを取る処理」が交換可能である
事を意味する事である。

一方、「長さを取る」という操作自身も極限処理である。
即ち、「二つの極限処理を交換できるか」という問題に帰着する。
もちろん、これも一般的には成り立たない。
例えば、

\begin{eqnarray*}
\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{m}\right)
&=&
\lim_{m\rightarrow\infty} \infty
\\
&=&
\infty
\\
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{n}{m}\right)
&=&
\lim_{m\rightarrow\infty} 0
\\
&=&
0
\\
\mbox{よって、}
\\
\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{m}\right)
&\ne&
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{n}{m}\right)
\end{eqnarray*}

である。

そして、今回の場合も、
\begin{eqnarray*}
\lim_{k\rightarrow\infty} \phi(S_k)
&=&
\lim_{k\rightarrow\infty} 2
\\
&=&
2
\\
\phi\left(\lim_{k\rightarrow\infty}S_k\right)
&=&
\phi(D)
\\
&=&
\sqrt{2}
\\
\mbox{よって、}
\\
\lim_{k\rightarrow\infty} \phi(S_k)
&\ne&
\phi\left(\lim_{k\rightarrow\infty} S_k\right)
\\
\mbox{即ち、}
\\
\lim_{k\rightarrow\infty} \phi(S_k)
&\ne&
\phi(D) \, (\mbox{$S_k$ の長さは $D$ の長さに近付かない})
\end{eqnarray*}

という、よくある(極限操作が交換できないという..)普通の結果が単に得られるだけである。

\section{まとめ : 推論の誤り}

\subsection{推論に失敗した直接の原因}

結論から言えば、もちろん、\RefRst{矛盾} は誤りであり、
その直接の原因は、\RefCnj{長さの収束}を正しいと考えた所にある。

しかし、\RefCnj{対角線への収束}や、\RefCms{図形と長さの関係}も、
それ自身は成り立つのだが、それ程自明ではなかった。

\subsection{誤りの原因}

では、なぜ、誤った推論をしてしまったのであろうか ?

この本質は、
やはり、(論理を蔑ろにし){\em 直観に頼りすぎてしまった} という事ではないだろうか ?

\RefCnj{長さの収束}を「直観的に正しいと思い込む」事によって、
その誤った結果が、推論の中に紛れ込み、結論を誤りに誘導するように思われる。

\subsection{「直観」の功罪}

「直観」は、「論理」なしに一足飛びに、結論を導く素晴しい能力である。
これなくしては、「数学」はやって行けない。
しかし、その一方、論理の裏付けがないが故に、時に誤りを導く危うい能力でもある。
したがって、「直観」で得られた結果を、「論理」によって確認
(
し、最終的には、論理ののみで説明
)
するという手順(=証明)が数学には不可欠なのである。

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{弧長} {\tt \verb|http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7|}
\end{thebibliography}

\end{document}
