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\title{ピタゴラスの定理}
\author{%
栗野俊一%
\thanks{%
日本大学理工学部数学科{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}}
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\input{sankaku.tex}
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\begin{document}
\maketitle
\section{ピタゴラスの定理}
\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\SankakuDraw%
\end{picture}%
\caption{ピタゴラスの定理}\label{Fig1}}
右の図(図\ref{Fig1})で$\kaku{C}$ が直角な三角形 $\sankaku{ABC}$ において、
次の式が成り立つ。
\begin{equation}
c^2 = a^2 + b^2
\end{equation}
これを、{\em ピタゴラスの定理} と呼ぶ。
また、三つの辺の平方数の関係である事から、{\em 三平方の定理}とも呼ばれる。
\end{Fmawarikomi}

\section{ピタゴラスの定理の証明}
\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\SankakuDraw%
\tenretu{H(2.44,2.02)n}%
\Drawlines{\C\H}%
\Tyokkakukigou(10)\C\H\B%
\end{picture}%
\caption{定理証明}\label{Fig2}}
前の図(図\ref{Fig1})の頂点${\rm C}$から、対辺${\rm AB}$へ下した垂線の足を
${\rm H}$ する(図\ref{Fig2})。

この時、$\sankaku{ABC}$ と、$\sankaku{ACH}$ 並びに、$\sankaku{CBH}$に
着目すると、次のような事がいえる。

$\sankaku{ABC}$ と $\sankaku{ACH}$ において、
\begin{eqnarray*}
\kaku{CAB}&=&\kaku{HAC}
\\
\kaku{BCA}&=&\kaku{CHA}
\end{eqnarray*}
即ち、ニ角が等しいので、
\begin{eqnarray*}
\sankaku{ABC} &\mbox{∽}& \sankaku{ACH}
\end{eqnarray*}
(二つの三角形は相似)がいえる。

同様に
$\sankaku{ABC}$ と $\sankaku{CBH}$ において、
\begin{eqnarray*}
\kaku{ABC}&=&\kaku{CBH}
\\
\kaku{BCA}&=&\kaku{BHC}
\end{eqnarray*}
即ち、ニ角が等しいので、
\begin{eqnarray*}
\sankaku{ABC} &\mbox{∽}& \sankaku{CBH}
\end{eqnarray*}
(二つの三角形は相似)がいえる。

相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、
\begin{eqnarray*}
{\rm AB:AC}&=& {\rm CA:HA}
\\
{\rm AB:CB}&=& {\rm BC:BH}
\end{eqnarray*}
となり、これより、
\begin{eqnarray*}
{\rm AC^2}&=& {\rm AB\cdot AH}
\\
{\rm CB^2}&=& {\rm AB\cdot HB}
\end{eqnarray*}
となる。
これの両辺を加え、${\rm AC}=b, {\rm CB}=a, {\rm AB}=c$ である事を使うと、

\begin{eqnarray*}
a^2+b^2&=&c({\rm AH}+{\rm HB})
\end{eqnarray*}

となる。そして、最後に ${\rm AH}+{\rm HB}={\rm AB}=c$ を利用すると、

\begin{eqnarray*}
a^2+b^2&=&c^2
\end{eqnarray*}

となり、求める式が得らえた。
\end{Fmawarikomi}

\end{document}
