%%
%%
%%
\documentclass[a4j]{jsarticle}
%%
%%
%%
\usepackage[dvipdfm]{graphicx}
%%
%%
%%
\input{../lib/useemath.tex}
\input{../lib/macro.tex}
%%
%%
%%
\title{Rolle(������)�������ȡ�ʿ���ͤ�����}
\author{%
����Ӱ�%
\thanks{%
������������������ز�{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}
}
%%
%%
%%
\input{rolle.tex}
%%
%%
%%
\newcommand{\Rolle}{�����������}
\newcommand{\Intermediate}{����ͤ�����}
\newcommand{\Mean}{ʿ���ͤ�����}
\newcommand{\Nest}{ñĴ����Ĥο��������}
\newcommand{\Squeeze}{��ֽ̾�������}
\newcommand{\Continue}{Ϣ³�����}
\newcommand{\Incrize}{����ñĴ���ÿ���}
\newcommand{\Decrize}{����ñĴ��������}
\newcommand{\ToUpper}{�峦�����\Incrize ������}
\newcommand{\ToLower}{���������\Decrize ������}
\newcommand{\Positivity}{������}
\newcommand{\Inequality}{�������Ȥθ�}
%%
%%
%%
\begin{document}
\maketitle
%%
%%
%%
\DateOut
%%
%%
%%
\tableofcontents
\section{\Rolle}
����\Rolle (\RefThm{\Rolle}) �ϡ�
��˼���\Mean (\RefSec{\Mean �ξ���}:\RefThm{\Mean})�����̤ʾ��
( $f(a)=f(b)$ �ξ�� ) �ˤʤäƤ��롣
������������\Mean ���������ˤϡ����� \Rolle ����˼�����
\Mean �˸����ؿ��ѷ����ơ�
���� \Rolle �η��˵��夵���ƾ���������ˡ
\footnote{
���̤��������������Τˡ��ޤ����֤����ü�ʾ��򼨤��ס�
���줫�顢
�֤����ü�ʾ������Ѥ��ơ����̤ξ��򡢤����ü�ʾ��˵��夵���Ƽ�����
�Ȥ����Τϡ����ؤǤ�褯���Ѥ����{\em �ƥ��˥å�}�Ǥ��롣

���μ�ˡ�������ϡ�1. �ü�ʾ������ꤹ����ˤ�äơ��ܼ�Ū����ʬ�����Τ�
�ʤꡢ���̤����褯�ʤ�(�ü�ʾ��ʤΤǡ������ü�����⤿�餹����
 (����� \Rolle �ξ��ϡ�$M=0(=f'(c))$ �ˤʤ�Ȥ��������ü�ǡ�
���줬�ܼ�Ū�˾�����������Ѥ���Ƥ���)
�����ѤǤ���)����2. �ѷ�(Ʊ����)�����Ѥ�����ˤ�äơ�����ɽŪ�ʸ��Ǿ�����
�Ǥ���С�����Ū�ˤ⤤����פȤ������������Ѥ�����ˤ��롣
}
���롣

�����ǡ��ޤ���\Mean �ξ��������ˡ�����\Rolle �򼨤���

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{-0.1,0,1.2,0.4}\xmin\xmax%
\Gurafu{2.0}\xmin\xmax%
\dottedline{0.05}(0.32,0.8)(3.27,0.80)
\dottedline{0.1}(0.32,0.00)(0.32,0.80)
\dottedline{0.1}(2.00,0.00)(2.00,2.00)
\dottedline{0.1}(3.27,0.00)(3.27,0.80)
\put(3.47,0.80){\makebox(0,0)[l]{{\scriptsize $f(a)=f(b)$}}}
\put(2.00,2.3){\makebox(0,0){{\scriptsize $f'(c)=0$}}}
\put(0.33,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
\put(2.00,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.27,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Rolle}\DefFig{\Rolle}}
\begin{Thm}[\Rolle]\DefThm{\Rolle}
���ο�(\RefFig{\Rolle}) ���ͤˡ�
�Ķ��$[a,b]$��������줿�ؿ� $f(x)$ ����
�����$(a,b)$����ʬ��ǽ�ǡ�
$f(a)=f(b)$ ����������
$f'(c)=0$ �Ȥʤ� $c \in (a,b)$ ��¸�ߤ��롣
\end{Thm}
\end{Fmawarikomi}

\section{\Rolle �ξ���}

\subsection{\Intermediate}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{0.1,-0.9,2.4,0}\xmin\xmax%
\dottedline{0.1}(0.32,0.00)(0.32,0.70)(0.00,0.70)
\dottedline{0.1}(0.70,0.00)(0.70,1.30)(0.00,1.30)
\dottedline{0.1}(3.27,0.00)(3.27,1.70)(0.00,1.70)
\put(0.33,-0.40){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
\put(0.70,-0.40){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.27,-0.40){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
\put(-0.05,0.70){\makebox(0,0)[r]{\ \scriptsize $f(a)$}}
\put(-0.10,1.30){\makebox(0,0)[r]{\ \scriptsize $M$}}
\put(-0.05,1.70){\makebox(0,0)[r]{\ \scriptsize $f(b)$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Intermediate}\DefFig{\Intermediate}}

\Rolle �ξ�����⹻���ϰ�
\footnote{
�⹻�ο��ؤˤϡ������Ѥ����ɤ����ơפȤ������꤬���ꡢ
�����ϰϤǵ�������ɬ�פ����롣
����ϡ����ؤ򽬤���ǡ�����������ǤϤ��뤬��
���ΰ������褯��̣���줿���Ƥ���ͽ��
(�����ʤ��ˡ�ľ��Ū�������Τߤǡ�ŷ����Ū��..)
Ϳ�����Ƥ��ꡢ�ֹ⹻���ϰϤ�����פǤ���С�
��������ǡ�{\em �Ĥ����������Ǥ���}�褦�����տ�������Ƥ��롣
}
�Ǽ����ˤϡ�
���Ρ�\Intermediate(\RefThm{\Intermediate}) �����Ѥ��롣

\begin{Thm}[\Intermediate]\DefThm{\Intermediate}\
���ο�(\RefFig{\Intermediate})���ͤˡ�
�Ķ��$[a,b]$��������줿�ؿ� $f(x)$ ����
�����$(a,b)$��Ϣ³�ǡ�$f(a)<f(b)$ ��������
\footnote{
���̤�\Intermediate �Ǥϡ�$f(a)\ge f(b)$ �ξ���ͤ��뤬��
�������򼺤鷺�ˡ�$f(a) < M < f(b)$ �ȹͤ����ɤ���

���Τʤ顢
$f(a)=M$ �λ��ˤϡ�
 $c=a$��$f(b)=M$ �λ��ˤϡ�$c=b$ �Ȥ���С�$f(c)=M$�������Τ����餫��

�ޤ���$f(a)=f(b)$ �λ��ˤϡ�$M=f(a)$ �ξ�礷���ʤ��Τǡ��嵭�ξ��֤�
�Ը���

�Ǹ�ˡ�$f(a)>f(b)$ �ξ��ϡ�$g(x)=-f(x)$ �Ȥ���С�������˴Ը��Ǥ��롣
}
��
$f(a)<M<f(b)$
�Ǥ���Ǥ�դμ¿� $M$ ���Ф��ơ�
$f(c)=M$ �Ȥʤ� $c \in (a,b)$ ��¸�ߤ��롣
\end{Thm}

���������ξ����ˤĤ��Ƥϡ���˽Ҥ٤�(\RefSec{\Intermediate �ξ���})�Ȥ��ơ�
�����Ǥϡ��������������Ѥ��ơ�\Rolle ��������롣
\end{Fmawarikomi}

\subsection{\Intermediate �����Ѥ��� \Rolle �ξ���}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{-0.1,0,1.2,0.4}\xmin\xmax%
\Gurafu{1.12,0.44}{-0.20}{2.20}
\Gurafu{-1.92,7.15}{2.70}{4.00}
\dottedline{0.05}(0.32,0.8)(3.27,0.80)
\dottedline{0.1}(0.32,0.00)(0.32,0.80)
\dottedline{0.1}(2.00,0.00)(2.00,2.00)
\dottedline{0.1}(3.27,0.00)(3.27,0.80)
\put(0.33,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $a'$}}
\put(2.00,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.27,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $b'$}}
\put(2.00,3.20){\makebox(0,0){\tiny $f'(a')>0$}}
\put(2.80,2.30){\makebox(0,0){\tiny $f'(b')<0$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Rolle �ξ���}\DefFig{\Rolle �ξ���}}

�ޤ��������ꡢ�ؿ� $f(x)$ �������$(a,b)$�ǡ���ʬ��ǽ�ʤΤǡ�
Ƴ�ؿ� $f'(x)$ �ϡ����$(a,b)$�ǡ�Ϣ³�Ǥ���������դ��褦��

���ơ����������� $f'(x)$ �ε�ư�ˤ�äơ����λ��Ĥξ���ʬ��
�ƹͤ��롣

\begin{description}
\item[(��� $(a,b)$ ��ǡ�����Ū�� $0$ �Ǥ���)]
���ξ��ϡ�$c \in (a,b)$ �Ȥʤ�Ǥ�դ��� $c$ �ǡ�
$f'(c)=0$ ������Ω�ġ�

\item[(��� $(a,b)$ ����� $a' \in (a,b)$ �ǡ����� $0$ �Ǥʤ��ͤ��ꡢ���줬���Ǥ���)]
\footnote{
�ֽ��� $0$ �Ǥʤ��פȤ���ɽ���ϡ��褦����ˡ�������ޤǤϡ�$0$ ���ä��Τˡ�
���������顢$0$ �Ǥʤ��ʤ�褦�ʴؿ��פȤ�����Τ����ꤷ�Ƥ��뤫��Ǥ���
(���ΰ�̣�ǡ�{\em �⹻�ο���}�ǤϹͤ���ɬ�פ��ʤ����⤷��ʤ�...)��

�������������椫�������������Ѥ�褦�ʴؿ�����Ϣ³���ä��ꡢ��ʬ��ǽ���ä��ꤹ��������� ?�פȤ�������⤢�ꤨ�褦��

�Ȥ����������Τ褦�ʴؿ��ϡ����Τ褦������
(���� $0$�ޤǤϡ�$0$ ���������θ�����ˤʤ�ؿ��ǡ�
�����ν���������Ѳ����Ƥ��뤬��
Ϣ³��������ʬ��ǽ�Ǥ���[��ǧ���Ƥߤ褦..])����ġ�
\[
f(x) =
\left\{
\begin{array}{cc}
0 & ( x \le 0 )
\\
x^2 & ( x > 0 )
\end{array}
\right.
\]
���δؿ� $f(x)$ �ϡ����������褦�ˡ���Ĥδؿ�
( �����Ǥ� $f_1(x)=0$ �� $f_2(x)=x^2$ ) ��
���� $(x=0)$ �ν�ǡ�{\em �Ѥ��ܤ�} ���������������Ƥ��롣
���Τ���ˡ����������ȸ�Ǥϰۤ뿶��򤹤�櫓�Ǥ��롣

��������Ϣ³������ʬ��ǽ���򼺤�ʤ��褦��{\em ����} �Ѥ��Ǥ���Τǡ�
��ʬ��ǽ�ˤʤäƤ���櫓�Ǥ��롣
}
����ο�(\RefFig{\Rolle �ξ���})�Τ褦�ˡ�
�� $x=a'$ �ǡ�$f'(a')>0$ �Ȥʤ�褦�ʾ�����ͤ��롣 
���ξ�硢�ؿ� $f(x)$ �ϡ��� $x=a'$ �ǡ���ʬ���� $f'(a')$ �����ʤΤǡ�
$x=a'$ �ζ᤯�����ä���
$x=a'$ ��ľ��ǡ�$f(a)$ ����礭���� $M (>f(a))$ ���롣
������$M>f(a)=f(b)$ �ʤΤǡ��ؿ� $f(x)$ �ϡ�
��� $(a',b)$ �Ǹ������뤳�Ȥˤʤ롣
����ϡ����ζ�֤β��褫�� $b' \in (a',b)$ �ǡ�
$f'(b')$ ����ˤʤ�
\footnote{
����ϡ�����ˡ�����Ѥ���
�֤⤷��
��� $(a',b)$ �ǡ���� $f'(x)\ge0$ ���Ȳ��ꤹ��ȡ�
�ؿ� $f(x)$ �ϡ���� $(a',b)$ �Ǿ�˹���ñĴ���ôؿ��ʤΤǡ�
$f(b)\ge M$
����Ω���롣
���줫�顢$f(b)\ge M>f(a)=f(b)$ ���ʤ�� $f(b)>f(b)$ ��Ƴ���줿�Τ�̷���
�Ȥ������Ǽ��������Ǥ��롣
}
�����̣���롣
���ʤ����Ƴ�ؿ� $f'(x)$ �ϡ���� $(a',b')$ �ˤ����ơ�
$f'(a')>0>f'(b')$ �Ȥʤ롣
���äơ�\Intermediate(\RefThm{\Intermediate})��ꡢ
���� $c \in (a',b') (\mbox{¨��} c \in (a,b))$ ��¸�ߤ���
$f'(c)=0$ ������Ω�ġ�

\item[(��� $(a,b)$ ����� $a' \in (a,b)$ �ǡ����� $0$ �Ǥʤ��ͤ��ꡢ���줬��Ǥ���)]
$g(x)=-f(x)$ �Ȥ���С�$f'(a')<0$ �ʤΤǡ�
$g(a')=-f(a')>0$ �Ȥʤꡢ�嵭�ξ��˴Ը�����롣
���äơ�
���� $c \in (a,b)$ ����¸�ߤ� $g'(c)=0$ �Ȥʤ롣
�Ȥ�������$f'(c)=-g'(c)=-0=0$ �Ȥʤ�Τǡ�$f'(c)=0$ ������Ω�ġ�
\end{description}

����ξ��⡢$f'(c)=0$ ������Ω�ĤΤǡ���ˡ�$f'(c)=0$ ������Ω�ġ�
\end{Fmawarikomi}

\section{\Mean �ξ���}\DefSec{\Mean �ξ���}

\subsection{\Mean}


\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{-0.3,1.4,0.4}\xmin\xmax%
\Gurafu{0.3,1.00}{0.64}{3.00}
\Gurafu{0.3,1.40}{1.00}{2.50}
\dottedline{0.1}(0.64,0.00)(0.64,1.22)
\dottedline{0.1}(1.90,0.00)(1.90,2.00)
\dottedline{0.1}(3.00,0.00)(3.00,1.90)
\put(0.64,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
\put(1.90,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.00,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
\put(0.54,1.52){\makebox(0,0){\scriptsize $f(a)$}}
\put(3.30,2.10){\makebox(0,0){\scriptsize $f(b)$}}
\put(2.00,2.70){\makebox(0,0){\scriptsize $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Mean}\DefFig{\Mean}}

\Mean (\RefThm{\Mean}) �ϡ����Τ褦�ʤ�ΤǤ��롣

\begin{Thm}[\Mean]\DefThm{\Mean}\
�ؿ� $f(x)$ ����� $(a,b)$ �ǡ���ʬ��ǽ�ʾ�硢
���� $c \in (a,b)$ ��¸�ߤ������μ�����Ω���롣
\[
f'(c)
=
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]
\end{Thm}
\end{Fmawarikomi}

�����ǡ�$f(a)=f(b)$ �Ȥ���ȡ�\Rolle(\RefThm{\Rolle}) ��Ʊ��
�����ʤΤǡ�\Rolle �ϡ�\Mean �����̤ʾ��ȹͤ�������Ǥ��롣
�����������˽Ҥ٤�褦�ˡ�\Mean �ϡ�\Rolle ���Ѥ��ƾ�����������Ǥ��롣

\subsection{\Rolle ���Ѥ���\Mean �ξ���}

Ϳ����줿$f(x)$�ϡ�
���� $(a,f(a)),\, (b,f(b))$ ���̤롣
�����ǡ������������̤뼡��ľ�� $\ell$ ��ͤ��롣
\[
\ell :
y = h(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\left(x-a\right)+f(a)
\]
������󡢤��Τ褦�˴ؿ� $h(x)$ ���֤����Τǡ�
$h(a)=f(a),\, h(b)=f(b)$
�Ȥʤ�
\footnote{
�ºݤˡ�$h(a), h(b)$ ��׻�������ɤ���
}
��

�����ơ����δؿ� $h(x)$ �����Ѥ��ơ��ؿ� $g(x)$ ��
$g(x)=f(x)-h(x)$
���֤���

����ȡ�$g(x)$�ϡ���� $(a,b)$ �ǡ���ʬ��ǽ
\footnote{
�����ǡ���($y$ ����ʿ�ԤǤʤ�..)ľ���פ�ɽ���ؿ��ϡ����
$(-\infty,+\infty)$ ����ʬ��ǽ�ʴؿ��Ǥ������
��ʬ��ǽ�ʴؿ����¤���ʬ��ǽ�ʴؿ��Ǥ���������Ѥ��Ƥ��롣
}
�Ǥ��ꡢ
Ƴ�ؿ�$g'(x)$ �ϡ�
\[
g'(x) = (f(x)-h(x))' = f'(x) - h'(x)
=
f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]
�Ȥʤꡢ���ˡ�
$g(a)=f(a)-h(a)=0=f(b)-h(b)=g(b)$
�Ȥʤ롣

���äơ�\Rolle(\RefThm{\Rolle}) ��ꡢ���� $c \in (a,b)$ ��¸�ߤ���
$g'(c)=0$
�Ȥʤ롣

���줫�顢
$\displaystyle
f'(c)
=
g'(c) + h'(c)
=
0 + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
=
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$
�Ȥʤ롣

���ʤ����Ƴ�ؿ� $f'(x)$ �ϡ��� $x=c \in (a,b)$ �ǡ�
��
$\displaystyle
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$
���롣

\section{\Intermediate �ξ���}\DefSec{\Intermediate �ξ���}

\subsection{Ϣ³�ؿ�}

\Intermediate �ϡ�Ϣ³�ؿ��δ��������Ǥ��롣
������������Τˡ�����\Continue(\RefDef{\Continue})�����Ѥ������ͤ��롣

\begin{Def}[����Ϣ³�����]
��$x=a$ �β��ǡ�
�������Ƥ���ؿ�$f(x)$ ����
�� $x=a$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�
���μ�����Ω������Ǥ��롣
\[
\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)
\]
\end{Def}

\begin{Def}[\Continue]\DefDef{\Continue}
�Ķ�� $[a,b]$ ��������줿���ؿ� $f(x)$ ����$c \in (a,b)$ �Ȥʤ롢
Ǥ�դ��� $x=c$ �ǡ�����Ϣ³�Ǥ���С����δؿ� $f(x)$ �ϡ�
��� $(a,b)$ ��Ϣ³�Ǥ���ȸ�����
\end{Def}

\subsection{Ϣ³�ؿ��������ȶ˸�}

\Continue(\RefDef{\Continue})
�ϡ��˸¤����Ѥ��ơ��������Ƥ��롣
�Ȥ��������⹻�ο��ؤǤϡ��˸¤ΰ�������̩�ǤϤʤ���
���η�̤Ȥ��ơ�����\Intermediate �ξ�����
�˸¤���������Ѥ��Ƹ�̩�˾�����������Ǥ��ʤ���

\Continue(\RefDef{\Continue})�ϡ�
$
\displaystyle
\lim_{x\rightarrow a} x = a
$
�Ǥ���������Ѥ���ȡ����Τ褦�ˡ��ɤ��ؤ�������Ǥ��롣
\[
\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) = f \left(\lim_{x\rightarrow a} x\right)
\]
���ʤ����{\em �ؿ�Ŭ�Ѥȶ˸����򴹲�ǽ}�Ǥ�������̣���롣

���äơ��ִؿ���Ϣ³���פȤϡ�
�֤��δؿ����ؿ�Ŭ�Ѥȶ˸����򴹤���ǽ�Ȥ����������Ļ��פ���
�Ȥ��ư������ˤ��롣

\subsection{����ζ˸¤�����}

�¿��� $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �ˤ����ơ�
��$n$ ���礭������ȡ�$a_n$ ���¤�̵�� $\alpha$ �˶��դ��׻���
�¿���$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �ϡ�
{\em �˸��� $\alpha$ �˼�«����}
�ȸ�����
����򡢼��μ���ɽ����
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\]

���Ρ�$n$ ���礭������ȡ�$a_n$ ���¤�̵�� $\alpha$ �˶��դ��פȤ���
���� {\em ��̣} ��{\em �ͤ��ʤ�}���ˤ������μ�«�˴ؤ�����Ĥ�����������
{\em ŷ����Ū�ˡ�����Ω��ʪ�פȤ��Ƽ��������}
\footnote{
������󡢡ֶ˸¡פ�
(��ؤǳؤ֤褦�ˡ�$\epsilon-\delta$ ��ˡ�פ����Ѥ���)
��̩���������С���������Ѥ�����ˤ�äơ�
�ʲ��������⡢���������������Ƴ�������Ǥ��롣
}
���ˤ��롣

\begin{Atr}[�¤��Ѥ˴ؤ����ˡ§]\DefAtr{�¤��Ѥ˴ؤ����ˡ§}
����ζ˸¤˴ؤ��롢���������ϡ�̵�������Ѥ��롣

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (c\ a_n) = c\ \alpha
\\
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\mbox{ ����}
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n = \beta
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n) = \alpha+\beta
\end{eqnarray*}

�����ǡ����ʤΡֿ��󤬼�«����פȤ���������ܼ�Ū�Ǥ��롣
�⤷�����󤬼�«���ʤ��ΤǤ���С����μ���ɬ��������Ω���ʤ�
\footnote{
�㤨�С�$+\infty$ ��ȯ��������� $\{a_n = n\}$ �� $c=0$ �ξ���ͤ���ȡ�
��̤������κ��դ�
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} (c\ a_n)
= 
\lim_{n\rightarrow\infty} ( 0 \times n )
= 
\lim_{n\rightarrow\infty} 0
= 0
$
�Ǥ��뤬��
���դϡ�
$\displaystyle
c\ \lim_{n\rightarrow\infty} n
=
0 \times \infty
$
�Ȥʤꡢ$0$ ��̵������ѤȤ�����̣�Τʤ����ˤʤäƤ��ޤ���
}
��

�����ϡ����줾�졢����ζ˸��������Τ褦�ˡ�
�û���������������ȡ�
{\em �򴹲�ǽ}
\footnote{
�����(ȯ���������)�Ǽ������褦�ˡ�
���θ�ˡ§��{\em ����(����������Ω��ʪ)�ǤϤʤ�}��
�ष�������Τ褦�ʸ�ˡ§����Ω�������{\em ��}�Ǥ��ꡢ
���줬��Ω����Ȥ����������� {\em �ɤ����������} �ȹͤ��Ƥ褤��
���ؤ���ˤ������θ�ˡ§������뤬��������{\em �����ü�}
�ʤΤǡ�
{\em �����Ƽ��夲����ͤ�����(�����ºݤ��͡��ʽ�����Ω��)} ���顢
���������ΤǤ��ꡢ{\em ����դ줿�������������������櫓�ǤϤʤ�}��
}
�Ǥ�����򼨤��Ƥ��롣

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (c\ a_n) = c\ \left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right)
\\
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\mbox{ ����}
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n = \beta
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n) = \left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right) + \left(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\right)
\end{eqnarray*}
\end{Atr}

\ifx01
\begin{Atr}[�����ͤȤθ�ˡ§]
\RefAtr{�¤��Ѥ˴ؤ����ˡ§}��Ʊ�͡�
���������⡢̵�������Ѥ��롣
\DefAtr{}
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} |a_n| = |\alpha|
\end{eqnarray*}
\end{Atr}

����⡢��Ϥꡢ�����ͤȶ˸¤θ������ˤʤäƤ���������դ��褦��
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} |a_n| = |\alpha| = \left|\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right|
\end{eqnarray*}
\fi

\begin{Def}[\Decrize]\DefDef{\Decrize}
����$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ��������������������硢
����$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �ϡ�{\em \Decrize �Ǥ���}�ȸ�����
\[
a_n \ge a_{n+1}
\]
\end{Def}

\begin{Def}[��������Ŀ���]
����$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ���Ф��ơ�
����¿� $M (> -\infty)$ ��¸�ߤ���
$a_n \ge M\, (n=1,..)$ ���Ȥ��롣
���λ���{\em ���ο����{\gt ���� $M$} �����}�ȸ�����
\end{Def}

���� \Decrize ���Ф��ơ�����\ToLower(\RefAtr{\ToLower})������������ˤ��롣

\begin{Atr}[\ToLower]\DefAtr{\ToLower}
\Decrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ������ $M$ ����ƤС�
��«���롣

���ʤ�������� $\alpha \ge M$ ��¸�ߤ��ơ�
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha \ge M
\]
�Ǥ���
\footnote{
���줬��Ω��������ľ��Ū�פ���������ʤ�С�
�⤷��\Decrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ��«���ʤ��Ȥ���ȡ�
$a_n$ �� $n$ �����ä�ȼ�����ɤ�ɤ󾮤��ʤ�Τ�{\em ��������}
������ $M$ �򲼲�äƤ��ޤ��Τǡ�$M$ �������Ǥ������̷�⤹��Ȥ������Ǥ��롣

����������{\em ��������}�פȤ����Τ��������ˡֲ�(�� $n$ ��)���ʤΡפȤ���
������Ф��ơ����Τ˼��������Ǥ��ʤ��Τǡ���ľ�ѡפ���Υ�������Ǥ��ʤ���
}
��
\end{Atr}

����\RefAtr{\ToLower}�ǡ��ä� $M=0$ ���֤����ü�ʾ��ϡ���̣������
���ʤ����

\begin{Thm}[\Positivity]\DefThm{\Positivity}
\Decrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ������ $0$ ����ƤС�
��«���롣

���ʤ�������� $\alpha \ge 0$ ��¸�ߤ��ơ�
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha \ge 0
\]
�Ǥ��롣
\end{Thm}

����ϡ���ˤ�äơ�\Decrize �ξ��ΤߤǤ��뤬��
\Inequality ���Ǥ���
\footnote{
���Ѥʰ�̣�ǡ�{\em ��}�ȸƤ֤ΤǤ���С�
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n \ge 0)
\Rightarrow
\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n \right) \ge 0
$
��ɽ�����٤�������
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n \ge 0)
$
�Ȥ���ɽ����
(��̣���ʤ��櫓�ǤϤʤ������⹻�Ǥϰ���ʤ����ؤ��Ѥ�����ɽ���Ǥ���..)��
���̤ϻȤ�ʤ� (�������� $a_n \ge 0\, (n=1,...)$ ��Ȥ�) �Τǡ�
�򴹤Τ褦�ˤϤߤ��ʤ����⤷��ʤ�����{\em ��̣Ū�ˤϡ��ָ򴹡פ��Ƥ���}
�Ȥ����դ��˹ͤ����ߤ���
}
�����̣���롣

\[
a_n > 0 \, (n=1,...) \Rightarrow
\left[
\alpha \ge 0 \Leftrightarrow 
\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n \right) \ge 0
\right]
\]

�����ǡ���¦�ˤ������ϤĤ��Ƥ��ʤ��Τ������ˤ��������Ĥ��Ƥ����
�����դ��褦��
�ޤ���$a_n\ge0  \, (n=1,...) \Rightarrow a_n>0  \, (n=1,...)$ �ʤΤǡ��������
$\displaystyle
a_n\ge0 \, (n=1,...) \Rightarrow
\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right) \ge 0
$
�Ȥʤꡢ�����դ���������ϡ��˸����ȸ򴹤Ǥ���
\footnote{
������󡢸򴹤Ȥ��äƤ�դλ��Ϥ����ʤ���
}
������롣

�¤ϡ����Τ褦�ˡ����̤˼�«�������˴ؤ��Ƥ�\Inequality ��������Τ�
���������������ˤ��褦��

\begin{Atr}[\Inequality]\DefAtr{\Inequality}
���� $\{a_n\}$ �����������Ǽ�«�� $\alpha$ ����Ĥʤ�С�
$\alpha$ ������Ǥ��롣

���ʤ����

\begin{eqnarray*}
\left[
a_n > 0\, (n=1,...) \mbox{����} \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\right]
&\Rightarrow&
\alpha \ge 0
\end{eqnarray*}

������Ω�ġ�

\end{Atr}

\ifx01
�ޤ����ۤܡ����餫�ǤϤ��뤬��
���������⡢�˸¤������Ȥ��ơ���������Ƥ������Ȥˤ��롣
\begin{Atr}
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\]
�ǡ�
\[
\lim_{x\rightarrow\alpha} f(x) = \beta
\]
�ʤ�С�
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) = \beta
\]
�Ǥ���
\footnote{
����⡢��Ϣ³Ū�˶��դ��פʤ�С�
���������Ӥ˼�äƤ���դ��פ������Ȥ�����
{\em ľ��Ū�ʴ���}��ɽ�������˲᤮�ʤ���
}
��
\end{Atr}
\fi

\Incrize �䡢�峦��Ʊ�ͤ�������졢�ʲ��������������롣

\begin{Thm}[\ToUpper]\DefThm{\ToUpper}
\Incrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ���峦 $M$ ����ƤС���«���롣

$b_n = - a_n$ �Ȥ��ơ����� $\{ b_n \}\, (n=1,...)$ ����ȡ�
����ϡ�\Decrize �Ǥ��ꡢ
$-M$ �Ȥ���������¸�ߤ���Τǡ�
\ToLower(\RefAtr{\ToLower}) ��ꡢ����$\alpha$ ��¸�ߤ���
���� $\{ b_n \}\, (n=1,...)$ �ϡ�$\alpha$�˼�«���롣
�������äơ�����\Incrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �ϡ�$-\alpha$ �˼�«���롣
\end{Thm}

������Ĥ�̿�꤫�顢��������(\Nest)��Ƴ���롣

\begin{Thm}[\Nest]\DefThm{\Nest}
��Ĥο��� $\{a_n\},\, \{b_n\}$ ���Ф��ơ����δط�����Ω����Ȥ��롣
\[
a_1 \le a_2 \le .. \le a_i \le .. \le b_i \le .. \le b_2 \le b_1
\]
���λ���������Ĥο���ϡ����줾�졢$\alpha,\, \beta$ �˼�«���ơ�
����������������
\[
a_i \le \lim_{n\rightarrow\infty} a_n
= \alpha \le \beta =
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n \le b_i
\]

�ޤ������� $\{a_n\}$ ��ͤ���ȡ������ $b_1$ �Ȥ����峦�����\Incrize �Ǥ��롣
���äơ�\ToUpper(\RefThm{\ToUpper}) ��ꡢ����$\alpha$ ��¸�ߤ�������˼�«���롣
Ʊ�ͤˡ� $\{b_n\}$ ������«������⡢
\ToLower(\RefAtr{\ToLower}) ���鼨�������Ǥ��롣

�Ĥ�ϡ�$\alpha \le \beta$ �Ȥ����ط�����Ω���뤫 ? �Ȥ�������Ǥ��롣
�����ǡ�����������������Ω�Ļ��򡢼��˼�����

\ifx01
����ˡ
\footnote{
�ޤ���䡢����ˡ�Ǥ��롣
��ͳ�ϴ�ñ�ǡ���«�˴ؤ������Τ����(ɬ�׽�ʬ���)��
������Ƥ��ʤ��Τǡ�����������餳�������򼨤��Ȥ������ʤ����ʤ���
�������ʤ��顢��������(ɬ�׾��)��Ϳ�����Ƥ���Τǡ�
�֤��������������ʤ����ϼ�«�����ȤϤ����ʤ��פȤ������ǡ�
{\em ����η�������} ����������Ǥ��롣
�����ơ�����{\em ����η�������} ��Ȥ������μ�ˡ��������ˡ�ˤʤ�櫓�Ǥ��롣
}
�Ǽ�����
\fi

�ޤ������� $\{ c_n \}$ �� $c_n = b_n - a_n$ ���֤����ˤ��褦��
����ȡ������ꡢ$\{ c_n \}$ ��\Decrize �ǡ����� $0$ �򲼳��Ȥ��ƻ��ġ�
�������äơ�$\gamma \ge 0$ �Ȥʤ��ͤ˼�«����(\RefThm{\Positivity})��

���줫�顢

\[
\beta-\alpha
=
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n
-
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n
=
\lim_{n\rightarrow\infty} (b_n-a_n)
=
\lim_{n\rightarrow\infty} c_n
=
\gamma \ge 0
\]

�Ȥʤ�Τǡ�$\beta-\alpha\ge 0$ ���ʤ����$\beta\ge\alpha$ �Ȥʤ롣
\end{Thm}

���������Ѥ���ȡ�����ͭ�Ѥ�����(\Squeeze)�������Ǥ��롣
\begin{Thm}[\Squeeze]\DefThm{\Squeeze}
\Nest(\RefThm{\Nest}) �β���˲ä���
���ˡ�$\gamma=0$ �Ȳ��ꤹ�롣

���λ���
\[ 
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n
=
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n
\]
�Ǥ��롣

����ϡ�$\gamma=0$ �ʤΤǡ�
$\beta-\alpha=\gamma=0$
�Ȥʤꡢ
$\beta=\alpha$
����Ω���뤫��Ǥ��롣
\end{Thm}

\subsection{\Squeeze �ˤ�� \Intermediate �ξ���}

\Intermediate �β��ꡢ���ʤ����
�Ķ�� $[a,b]$ ��������줿�ؿ� $f(x)$ ��
����� $(a,b)$ ��Ϣ³�ǡ�$f(a)<f(b)$ ����������
$M \in (a,b)$ �Ȥʤ�Ǥ�դ� $M$ ���Ф��ơ�
���Ĥο���$\{a_n\},\, \{b_n\},\, \{c_n\}$��
���Τ褦�����������Ѥ��ơ����줾��������롣
\begin{eqnarray*}
a_{n+1}
&=&
\left\{
\begin{array}{cl}
a & ( n = 0 \mbox{�λ�} )
\\
c_n & ( f(c_n) < M \mbox{�λ�} )
\\
a_n & ( \mbox{����¾�λ�} )
\end{array}
\right.
\\
b_{n+1}
&=&
\left\{
\begin{array}{cl}
b & ( n = 0 \mbox{�λ�} )
\\
c_n & ( M \le f(c_n) \mbox{�λ�} )
\\
b_n & ( \mbox{����¾�λ�} )
\end{array}
\right.
\\
c_n
&=&
\frac{a_n+b_n}{2}
\end{eqnarray*}

�����ο�����Ф��ơ���������������Ω��
\footnote{
���ϡ�$n$ �˴ؤ��롢����Ū��Ǽˡ�ˤ�äơ�������������Ǥ��롣
}
��
\begin{eqnarray*}
a_n \le a_{n+1} \le &c_n& \le b_{n+1} \le b_n
\\
b_n - a_n &=& \frac{b-a}{2^{n-1}}
\\
f(a_n) < &M& \le f(b_n)
\end{eqnarray*}

���λ����顢���λ���Ƴ����롣
\begin{Thm}
���� $c \in (a,b)$ ��¸�ߤ���
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = c = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n (=\lim_{n\rightarrow\infty} c_n )
$
���ġ����� $c$ ���Ф��ơ�
$
f(c)=M
$
�Ǥ��롣

�ʤ��ʤ顢$\{a_n\}$ ��\Incrize ��$\{b_n\}$ ��\Decrize �ǡ�
\Squeeze(\RefThm{\Squeeze})�ξ���������
��äơ����� $c \in (a,b)$ ��¸�ߤ���
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = c = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n
$
�Ȥʤ롣

���ˡ��ؿ� $f(x)$ ��Ϣ³�����顢
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty}f( a_n)
=
f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right)
=
f(c)
=
f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} b_n\right)
=
\lim_{n\rightarrow\infty}f( b_n)
$
�Ǥ��롣
���ʤ�������� $\{ f(a_n) \}, \{ f(b_n) \} $ �ϼ�«��������
��«�ͤ� $f(c)$ �Ǥ��롣

����ȡ�
$\displaystyle
f(a_n) \le M
$
���顢\RefAtr{\Inequality}��ꡢ
$\displaystyle
f(c) = \left(\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \right) \le M
$
�Ȥʤꡢ
$f(c)\le M$
�������롣

Ʊ�ͤˤ��ơ�$M\le f(b_n)$ �����Ѥ��ơ�
$M \le f(c)$
������Ω�ĤΤǡ�������Ĥ���
$f(c) \le M \le f(c)$
���ʤ����
$f(c)=M$
������Ω�ġ�
\end{Thm}

���η�̤�������\Intermediate(\RefThm{\Intermediate})�Ǥ��롣

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{wikipedia-rolle} wikipedia,
``���������'',\hspace*{\fill}

\verb|http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86|

\bibitem{wikipedia-mean} wikipedia,
``ʿ���ͤ�����'',\hspace*{\fill}
\verb|http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86|

\bibitem{ipe-mean} ipe@jp, 
``������ʿ�������� mean value theorem, law of the mean'',\hspace*{\fill}

\verb|http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/|
\verb|Differentiation/Differential1VarFnctn/TheoremRolleMeanValue.htm|

\end{thebibliography}

\end{document}
