%%
%%
%%
\documentclass[a4j]{jsarticle}
%%
%%
%%
\usepackage[dvipdfm]{graphicx}
%%
%%
%%
\input{../lib/useemath.tex}
\input{../lib/macro.tex}
%%
%%
%%
\title{Rolle(���[��)�̒藝�ƁA���ϒl�̒藝}
\author{%
�I��r��%
\thanks{%
���{��w���H�w�����w��{\tt<kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp>}%
}
}
%%
%%
%%
\input{rolle.tex}
%%
%%
%%
\newcommand{\Rolle}{���[���̒藝}
\newcommand{\Intermediate}{���Ԓl�̒藝}
\newcommand{\Mean}{���ϒl�̒藝}
\newcommand{\Nest}{�P���ȓ�̐���̒藝}
\newcommand{\Squeeze}{��ԏk���̒藝}
\newcommand{\Continue}{�A���̒�`}
\newcommand{\Incrize}{�L�`�P����������}
\newcommand{\Decrize}{�L�`�P����������}
\newcommand{\ToUpper}{��E������\Incrize �̐���}
\newcommand{\ToLower}{���E������\Decrize �̐���}
\newcommand{\Positivity}{���l��}
\newcommand{\Inequality}{�s�����Ƃ̌���}
%%
%%
%%
\begin{document}
\maketitle
%%
%%
%%
\DateOut
%%
%%
%%
\tableofcontents
\section{\Rolle}
����\Rolle (\RefThm{\Rolle}) �́A
���Ɏ���\Mean (\RefSec{\Mean �̏ؖ�}:\RefThm{\Mean})�̓��ʂȏꍇ
( $f(a)=f(b)$ �̏ꍇ ) �ɂȂ��Ă���B
�������A����\Mean ���ؖ�����ɂ́A���� \Rolle ���Ɏ����A
\Mean �Ɍ����֐��ό`���āA
���� \Rolle �̌`�ɋA�������ďؖ�������@
\footnote{
��ʂ̒藝���ؖ�����̂ɁA�܂��A�u���̓���ȏꍇ�������v�A
���ꂩ��A
�u���̓���ȏꍇ�𗘗p���āA��ʂ̏ꍇ���A���̓���ȏꍇ�ɋA�������Ď����v
�Ƃ����̂́A���w�ł��悭���p�����{\em �e�N�j�b�N}�ł���B

���̎�@�̗��_�́A1. ����ȏꍇ��z�肷�鎖�ɂ���āA�{���I�ȕ��������m��
�Ȃ�A���ʂ����悭�Ȃ�(����ȏꍇ�Ȃ̂ŁA���̓��ꐫ�������炷����
 (����� \Rolle �̏ꍇ�́A$M=0(=f'(c))$ �ɂȂ�Ƃ����_������ŁA
���ꂪ�{���I�ɏؖ��̒��ŗ��p����Ă���)
�����p�ł���)���A2. �ό`(���l��)�𗘗p���鎖�ɂ���āA�u��\�I�Ȍ��ŏؖ���
�ł���΁A��ʓI�ɂ�������v�Ƃ��������𗘗p���鎖�ɂ���B
}
�����B

�����ŁA�܂��A\Mean �̏ؖ��̑O�ɁA����\Rolle �������B

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{-0.1,0,1.2,0.4}\xmin\xmax%
\Gurafu{2.0}\xmin\xmax%
\dottedline{0.05}(0.32,0.8)(3.27,0.80)
\dottedline{0.1}(0.32,0.00)(0.32,0.80)
\dottedline{0.1}(2.00,0.00)(2.00,2.00)
\dottedline{0.1}(3.27,0.00)(3.27,0.80)
\put(3.47,0.80){\makebox(0,0)[l]{{\scriptsize $f(a)=f(b)$}}}
\put(2.00,2.3){\makebox(0,0){{\scriptsize $f'(c)=0$}}}
\put(0.33,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
\put(2.00,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.27,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Rolle}\DefFig{\Rolle}}
\begin{Thm}[\Rolle]\DefThm{\Rolle}
�E�̐}(\RefFig{\Rolle}) �̗l�ɁA
���$[a,b]$�Œ�`���ꂽ�֐� $f(x)$ ���A
�J���$(a,b)$�Ŕ����\�ŁA
$f(a)=f(b)$ �𖞂����A
$f'(c)=0$ �ƂȂ� $c \in (a,b)$ �����݂���B
\end{Thm}
\end{Fmawarikomi}

\section{\Rolle �̏ؖ�}

\subsection{\Intermediate}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{0.1,-0.9,2.4,0}\xmin\xmax%
\dottedline{0.1}(0.32,0.00)(0.32,0.70)(0.00,0.70)
\dottedline{0.1}(0.70,0.00)(0.70,1.30)(0.00,1.30)
\dottedline{0.1}(3.27,0.00)(3.27,1.70)(0.00,1.70)
\put(0.33,-0.40){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
\put(0.70,-0.40){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.27,-0.40){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
\put(-0.05,0.70){\makebox(0,0)[r]{\ \scriptsize $f(a)$}}
\put(-0.10,1.30){\makebox(0,0)[r]{\ \scriptsize $M$}}
\put(-0.05,1.70){\makebox(0,0)[r]{\ \scriptsize $f(b)$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Intermediate}\DefFig{\Intermediate}}

\Rolle �̏ؖ������Z�͈̔�
\footnote{
���Z�̐��w�ɂ́A�u���p���ėǂ����e�v�Ƃ������肪����A
���͈̔͂ŋc�_����K�v������B
����́A���w���K����ŁA����������ł͂��邪�A
���̈���A�悭�ᖡ���ꂽ���e���A�\��
(�ؖ��Ȃ��ɁA���ϓI�Ȑ����݂̂ŁA�V����I��..)
�^�����Ă���A�u���Z�͈̖̔͂��v�ł���΁A
���ꂾ���ŁA{\em �����c�_���ł���}�悤�ɒ��Ӑ[������Ă���B
}
�Ŏ����ɂ́A
���́A\Intermediate(\RefThm{\Intermediate}) �𗘗p����B

\begin{Thm}[\Intermediate]\DefThm{\Intermediate}\
�E�̐}(\RefFig{\Intermediate})�̗l�ɁA
���$[a,b]$�Œ�`���ꂽ�֐� $f(x)$ ���A
�J���$(a,b)$�ŘA���ŁA$f(a)<f(b)$ �𖞂���
\footnote{
��ʂ�\Intermediate �ł́A$f(a)\ge f(b)$ �̏ꍇ���l���邪�A
��ʐ������킸�ɁA$f(a) < M < f(b)$ �ƍl���ėǂ��B

���̂Ȃ�A
$f(a)=M$ �̎��ɂ́A
 $c=a$�A$f(b)=M$ �̎��ɂ́A$c=b$ �Ƃ���΁A$f(c)=M$�𖞂��̂Ŗ��炩�B

�܂��A$f(a)=f(b)$ �̎��ɂ́A$M=f(a)$ �̏ꍇ�����Ȃ��̂ŁA��L�̏�Ԃ�
�Ҍ��B

�Ō�ɁA$f(a)>f(b)$ �̏ꍇ�́A$g(x)=-f(x)$ �Ƃ���΁A���̗�ɊҌ��ł���B
}
�A
$f(a)<M<f(b)$
�ł���C�ӂ̎��� $M$ �ɑ΂��āA
$f(c)=M$ �ƂȂ� $c \in (a,b)$ �����݂���B
\end{Thm}

���̒藝�̏ؖ��ɂ��ẮA��ɏq�ׂ�(\RefSec{\Intermediate �̏ؖ�})�Ƃ��āA
�����ł́A���̒藝�𗘗p���āA\Rolle ���ؖ�����B
\end{Fmawarikomi}

\subsection{\Intermediate �𗘗p���� \Rolle �̏ؖ�}

\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{-0.1,0,1.2,0.4}\xmin\xmax%
\Gurafu{1.12,0.44}{-0.20}{2.20}
\Gurafu{-1.92,7.15}{2.70}{4.00}
\dottedline{0.05}(0.32,0.8)(3.27,0.80)
\dottedline{0.1}(0.32,0.00)(0.32,0.80)
\dottedline{0.1}(2.00,0.00)(2.00,2.00)
\dottedline{0.1}(3.27,0.00)(3.27,0.80)
\put(0.33,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $a'$}}
\put(2.00,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.27,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $b'$}}
\put(2.00,3.20){\makebox(0,0){\tiny $f'(a')>0$}}
\put(2.80,2.30){\makebox(0,0){\tiny $f'(b')<0$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Rolle �̏ؖ�}\DefFig{\Rolle �̏ؖ�}}

�܂��A������A�֐� $f(x)$ ���A���$(a,b)$�ŁA�����\�Ȃ̂ŁA
���֐� $f'(x)$ �́A���$(a,b)$�ŁA�A���ł��鎖�ɒ��ӂ��悤�B

���āA���A������ $f'(x)$ �̋����ɂ���āA���̎O�̏ꍇ�ɕ���
�čl����B

\begin{description}
\item[(��� $(a,b)$ ���ŁA�P��I�� $0$ �ł���)]
���̏ꍇ�́A$c \in (a,b)$ �ƂȂ�C�ӂ̓_ $c$ �ŁA
$f'(c)=0$ �����藧�B

\item[(��� $(a,b)$ ���̓_ $a' \in (a,b)$ �ŁA���߂� $0$ �łȂ��l�����A���ꂪ���ł���)]
\footnote{
�u���߂� $0$ �łȂ��v�Ƃ����\���́A�悤����ɁA�u�r���܂ł́A$0$ �������̂ɁA
����_����A$0$ �łȂ��Ȃ�悤�Ȋ֐��v�Ƃ������̂�z�肵�Ă��邩��ł���
(���̈Ӗ��ŁA{\em ���Z�̐��w}�ł͍l����K�v���Ȃ���������Ȃ�...)�B

�������A�u�r������ˑR�������ς�悤�Ȋ֐����A�A����������A�����\�������肷�邾�낤�� ?�v�Ƃ����^������肦�悤�B

�Ƃ��낪�A���̂悤�Ȋ֐��́A���̂悤�Ȑ���
(���_ $0$�܂ł́A$0$ �����A���̌�͐��ɂȂ�֐��ŁA
���_�̏��Ő������ω����Ă��邪�A
�A�������A�����\�ł���[�m�F���Ă݂悤..])�����B
\[
f(x) =
\left\{
\begin{array}{cc}
0 & ( x \le 0 )
\\
x^2 & ( x > 0 )
\end{array}
\right.
\]
���̊֐� $f(x)$ �́A��`�������悤�ɁA��̊֐�
( ��̗�ł� $f_1(x)=0$ �� $f_2(x)=x^2$ ) ���A
���_ $(x=0)$ �̏��ŁA{\em �p���ڂ�} �����`�Œ�`����Ă���B
���̂��߂ɁA���_�̑O�ƌ�ł͈ق�U��������킯�ł���B

�������A�A����������\��������Ȃ��悤��{\em ����} �p���ł���̂ŁA
�����\�ɂȂ��Ă���킯�ł���B

\ifx01
���̂悤�Ɉق�֐����p���ō�鎖����͐ڑ�\cite{analytically-continuable}��
�ĂԁB
\fi
}
�E��̐}(\RefFig{\Rolle �̏ؖ�})�̂悤�ɁA
�_ $x=a'$ �ŁA$f'(a')>0$ �ƂȂ�悤�ȏ󋵂��l����B 
���̏ꍇ�A�֐� $f(x)$ �́A�_ $x=a'$ �ŁA�����W�� $f'(a')$ �����Ȃ̂ŁA
$x=a'$ �̋߂��ő������A
$x=a'$ �̒���ŁA$f(a)$ ���傫�Ȓl $M (>f(a))$ �����B
����A$M>f(a)=f(b)$ �Ȃ̂ŁA�֐� $f(x)$ �́A
��� $(a',b)$ �Ō������邱�ƂɂȂ�B
����́A���̋�Ԃ̉������� $b' \in (a',b)$ �ŁA
$f'(b')$ �͕��ɂȂ�
\footnote{
����́A�w���@�𗘗p���A
�u�����A
��� $(a',b)$ �ŁA��� $f'(x)\ge0$ ���Ɖ��肷��ƁA
�֐� $f(x)$ �́A��� $(a',b)$ �ŏ�ɍL�`�P�������֐��Ȃ̂ŁA
$f(b)\ge M$
����������B
���ꂩ��A$f(b)\ge M>f(a)=f(b)$ ���Ȃ킿 $f(b)>f(b)$ �������ꂽ�̂Ŗ����v
�Ƃ����`�Ŏ��������ł���B
}
�����Ӗ�����B
���Ȃ킿�A���֐� $f'(x)$ �́A��� $(a',b')$ �ɂ����āA
$f'(a')>0>f'(b')$ �ƂȂ�B
�]���āA\Intermediate(\RefThm{\Intermediate})���A
���� $c \in (a',b') (\mbox{����} c \in (a,b))$ �����݂��A
$f'(c)=0$ �����藧�B

\item[(��� $(a,b)$ ���̓_ $a' \in (a,b)$ �ŁA���߂� $0$ �łȂ��l�����A���ꂪ���ł���)]
$g(x)=-f(x)$ �Ƃ���΁A$f'(a')<0$ �Ȃ̂ŁA
$g(a')=-f(a')>0$ �ƂȂ�A��L�̏ꍇ�ɊҌ������B
�]���āA
���� $c \in (a,b)$ ���A���݂� $g'(c)=0$ �ƂȂ�B
�Ƃ��낪�A$f'(c)=-g'(c)=-0=0$ �ƂȂ�̂ŁA$f'(c)=0$ �����藧�B
\end{description}

����̏ꍇ���A$f'(c)=0$ �����藧�̂ŁA��ɁA$f'(c)=0$ �����藧�B
\end{Fmawarikomi}

\section{\Mean �̏ؖ�}\DefSec{\Mean �̏ؖ�}

\subsection{\Mean}


\begin{Fmawarikomi}{120pt}{%
\begin{picture}(7,3.5)%
\begin{zahyou}(-1,4)(-1,3)%
\Gurafu{-0.3,1.4,0.4}\xmin\xmax%
\Gurafu{0.3,1.00}{0.64}{3.00}
\Gurafu{0.3,1.40}{1.00}{2.50}
\dottedline{0.1}(0.64,0.00)(0.64,1.22)
\dottedline{0.1}(1.90,0.00)(1.90,2.00)
\dottedline{0.1}(3.00,0.00)(3.00,1.90)
\put(0.64,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $a$}}
\put(1.90,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $c$}}
\put(3.00,-0.4){\makebox(0,0){\scriptsize $b$}}
\put(0.54,1.52){\makebox(0,0){\scriptsize $f(a)$}}
\put(3.30,2.10){\makebox(0,0){\scriptsize $f(b)$}}
\put(2.00,2.70){\makebox(0,0){\scriptsize $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$}}
\end{zahyou}
\end{picture}
\caption{\Mean}\DefFig{\Mean}}

\Mean (\RefThm{\Mean}) �́A���̂悤�Ȃ��̂ł���B

\begin{Thm}[\Mean]\DefThm{\Mean}\
�֐� $f(x)$ ����� $(a,b)$ �ŁA�����\�ȏꍇ�A
���� $c \in (a,b)$ �����݂��A���̎�����������B
\[
f'(c)
=
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]
\end{Thm}
\end{Fmawarikomi}

�����ŁA$f(a)=f(b)$ �Ƃ���ƁA\Rolle(\RefThm{\Rolle}) �Ɠ���
�󋵂Ȃ̂ŁA\Rolle �́A\Mean �̓��ʂȏꍇ�ƍl���鎖���ł���B
�������A���ɏq�ׂ�悤�ɁA\Mean �́A\Rolle ��p���ďؖ����鎖���ł���B

\subsection{\Rolle ��p����\Mean �̏ؖ�}

�^����ꂽ$f(x)$�́A
��_ $(a,f(a)),\, (b,f(b))$ ��ʂ�B
�����ŁA���̓�_��ʂ鎟�̒��� $\ell$ ���l����B
\[
\ell :
y = h(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\left(x-a\right)+f(a)
\]
�������A���̂悤�Ɋ֐� $h(x)$ ��u�����̂ŁA
$h(a)=f(a),\, h(b)=f(b)$
�ƂȂ�
\footnote{
���ۂɁA$h(a), h(b)$ ���v�Z����Ηǂ��B
}
�B

�����āA���̊֐� $h(x)$ �𗘗p���āA�֐� $g(x)$ ��
$g(x)=f(x)-h(x)$
�ƒu���B

����ƁA$g(x)$�́A��� $(a,b)$ �ŁA�����\
\footnote{
�����ŁA�u($y$ ���ɕ��s�łȂ�..)�����v��\���֐��́A���
$(-\infty,+\infty)$ �Ŕ����\�Ȋ֐��ł��鎖�A
�����\�Ȋ֐��̘a�������\�Ȋ֐��ł��鎖�𗘗p���Ă���B
}
�ł���A
���֐�$g'(x)$ �́A
\[
g'(x) = (f(x)-h(x))' = f'(x) - h'(x)
=
f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]
�ƂȂ�A�X�ɁA
$g(a)=f(a)-h(a)=0=f(b)-h(b)=g(b)$
�ƂȂ�B

�]���āA\Rolle(\RefThm{\Rolle}) ���A���� $c \in (a,b)$ �����݂��A
$g'(c)=0$
�ƂȂ�B

���ꂩ��A
$\displaystyle
f'(c)
=
g'(c) + h'(c)
=
0 + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
=
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$
�ƂȂ�B

���Ȃ킿�A���֐� $f'(x)$ �́A�_ $x=c \in (a,b)$ �ŁA
�l
$\displaystyle
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$
�����B

\section{\Intermediate �̏ؖ�}\DefSec{\Intermediate �̏ؖ�}

\subsection{�A���֐�}

\Intermediate �́A�A���֐��̊�{�藝�ł���B
������ؖ�����̂ɁA����\Continue(\RefDef{\Continue})�𗘗p���鎖���l����B

\begin{Def}[�e�_�A���̒�`]
�_$x=a$ �̉��ŁA
��`����Ă���֐�$f(x)$ ���A
�_ $x=a$ �ŘA���ł���Ƃ́A
���̎����������鎖�ł���B
\[
\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)
\]
\end{Def}

\begin{Def}[\Continue]\DefDef{\Continue}
��� $[a,b]$ �Œ�`���ꂽ�A�֐� $f(x)$ ���A$c \in (a,b)$ �ƂȂ�A
�C�ӂ̓_ $x=c$ �ŁA�e�_�A���ł���΁A���̊֐� $f(x)$ �́A
��� $(a,b)$ �ŘA���ł���ƌ����B
\end{Def}

\subsection{�A���֐��̐����ƋɌ�}

\Continue(\RefDef{\Continue})
�́A�Ɍ��𗘗p���āA��`����Ă���B
�Ƃ��낪�A���Z�̐��w�ł́A�Ɍ��̈����������ł͂Ȃ��A
���̌��ʂƂ��āA����\Intermediate �̏ؖ���
�Ɍ��̒�`�𗘗p���Č����ɏؖ����鎖���ł��Ȃ��B

\Continue(\RefDef{\Continue})�́A
$
\displaystyle
\lim_{x\rightarrow a} x = a
$
�ł��鎖�𗘗p����ƁA���̂悤�ɁA�ǂݑւ��鎖���ł���B
\[
\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) = f \left(\lim_{x\rightarrow a} x\right)
\]
���Ȃ킿�A{\em �֐��K�p�ƋɌ����삪�����\}�ł��鎖���Ӗ�����B

�]���āA�u�֐��̘A�����v�Ƃ́A
�u���̊֐����֐��K�p�ƋɌ����삪�������\�Ƃ������������v���A
�Ƃ��Ĉ������ɂ���B

\subsection{����̋Ɍ��̐���}

������ $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �ɂ����āA
�u$n$ ��傫������ƁA$a_n$ �����薳�� $\alpha$ �ɋߕt���v���A
������$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �́A
{\em �Ɍ��l $\alpha$ �Ɏ�������}
�ƌ����A
������A���̎��ŕ\���B
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\]

���́u$n$ ��傫������ƁA$a_n$ �����薳�� $\alpha$ �ɋߕt���v�Ƃ���
���� {\em �Ӗ�} ��{\em �l���Ȃ�}���ɂ��A���̎����Ɋւ������̐������A
{\em �V����I�Ɂu���藧���v�Ƃ��Ď󂯓����}
\footnote{
�������A�u�Ɍ��v��
(��w�Ŋw�Ԃ悤�Ɂu$\epsilon-\delta$ �_�@�v�𗘗p����)
�����ɒ�`����΁A����𗘗p���鎖�ɂ���āA
�ȉ��̐������A���̒�`����S�ē��������ł���B
}
���ɂ���B

\begin{Atr}[�a�ƐςɊւ�������@��]\DefAtr{�a�ƐςɊւ�������@��}
����̋Ɍ��Ɋւ���A���̐����́A�������ɗ��p����B

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (c\ a_n) = c\ \alpha
\\
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\mbox{ ����}
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n = \beta
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n) = \alpha+\beta
\end{eqnarray*}

�����ŁA�O�i�́u���񂪎�������v�Ƃ�������͖{���I�ł���B
�����A���񂪎������Ȃ��̂ł���΁A���̎��͕K�������������Ȃ�
\footnote{
�Ⴆ�΁A$+\infty$ �ɔ��U���鐔�� $\{a_n = n\}$ �� $c=0$ �̏ꍇ���l����ƁA
���ʂ̓����̍��ӂ�
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} (c\ a_n)
= 
\lim_{n\rightarrow\infty} ( 0 \times n )
= 
\lim_{n\rightarrow\infty} 0
= 0
$
�ł��邪�A
�E�ӂ́A
$\displaystyle
c\ \lim_{n\rightarrow\infty} n
=
0 \times \infty
$
�ƂȂ�A$0$ �Ɩ�����̐ςƂ����Ӗ��̂Ȃ����ɂȂ��Ă��܂��B
}
�B

�����́A���ꂼ��A����̋Ɍ����삪�A���̂悤�ɁA
���Z�����萔�̐ϑ���ƁA
{\em �����\}
\footnote{
��̗�(���U���鐔��)�Ŏ������悤�ɁA
���̌����@����{\em ����(�����ɐ��藧��)�ł͂Ȃ�}�B
�ނ���A���̂悤�Ȍ����@�����������鎖��{\em �H}�ł���A
���ꂪ��������Ƃ������͑�� {\em �ǂ�����������} �ƍl���Ă悢�B
���w�̒��ɂ͑�R�̌����@��������邪�A������{\em ��ϓ���}
�Ȃ̂ŁA
{\em �����Ď��グ�鉿�l������(���A���ۂɗl�X�ȏ��Ŗ��ɗ���)} ����A
��R�����̂ł���A{\em ����ӂꂽ�����������R�����킯�ł͂Ȃ�}�B
}
�ł��鎖�������Ă���B

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (c\ a_n) = c\ \left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right)
\\
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\mbox{ ����}
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n = \beta
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n) = \left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right) + \left(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\right)
\end{eqnarray*}
\end{Atr}

\ifx01
\begin{Atr}[��Βl�Ƃ̌����@��]
\RefAtr{�a�ƐςɊւ�������@��}�Ɠ��l�A
���̐������A�������ɗ��p����B
\DefAtr{}
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\lim_{n\rightarrow\infty} |a_n| = |\alpha|
\end{eqnarray*}
\end{Atr}

������A��͂�A��Βl�ƋɌ��̌����藝�ɂȂ��Ă��鎖�ɒ��ӂ��悤�B
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} |a_n| = |\alpha| = \left|\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right|
\end{eqnarray*}
\fi

\begin{Def}[\Decrize]\DefDef{\Decrize}
����$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ���A���̐����𖞂��ꍇ�A
����$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �́A{\em \Decrize �ł���}�ƌ����B
\[
a_n \ge a_{n+1}
\]
\end{Def}

\begin{Def}[���E��������]
����$\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �ɑ΂��āA
������� $M (> -\infty)$ �����݂��A
$a_n \ge M\, (n=1,..)$ ���Ƃ���B
���̎��A{\em ���̐����{\gt ���E $M$} ������}�ƌ����B
\end{Def}

���� \Decrize �ɑ΂��āA����\ToLower(\RefAtr{\ToLower})���󂯓���鎖�ɂ���B

\begin{Atr}[\ToLower]\DefAtr{\ToLower}
\Decrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �����E $M$ �����Ă΁A
��������B

���Ȃ킿�A���� $\alpha \ge M$ �����݂��āA
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha \ge M
\]
�ł���
\footnote{
���ꂪ�������鎖���u���ϓI�v�ɐ�������Ȃ�΁A
�����A\Decrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �������Ȃ��Ƃ���ƁA
$a_n$ �� $n$ �̑����ɔ����A�ǂ�ǂ񏬂��Ȃ�̂�{\em ��������}
���E�� $M$ ��������Ă��܂��̂ŁA$M$ �����E�ł��鎖�ɖ�������Ƃ������ł���B

�������A�u{\em ��������}�v�Ƃ����̂��A�{���Ɂu��(�� $n$ ��)���Ȃ́v�Ƃ���
����ɑ΂��āA���m�Ɏ��������ł��Ȃ��̂ŁA�u���ρv���痣��鎖���ł��Ȃ��B
}
�B
\end{Atr}

����\RefAtr{\ToLower}�ŁA���� $M=0$ �ƒu��������ȏꍇ�́A�����[���B
���Ȃ킿�A

\begin{Thm}[\Positivity]\DefThm{\Positivity}
\Decrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �����E $0$ �����Ă΁A
��������B

���Ȃ킿�A���� $\alpha \ge 0$ �����݂��āA
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha \ge 0
\]
�ł���B
\end{Thm}

����́A��ɂ���āA\Decrize �̏ꍇ�݂̂ł��邪�A
\Inequality ���ł���
\footnote{
�f�p�ȈӖ��ŁA{\em ����}�ƌĂԂ̂ł���΁A
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n \ge 0)
\Rightarrow
\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n \right) \ge 0
$
�ƕ\�����ׂ������A
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_n \ge 0)
$
�Ƃ����\����
(�Ӗ����Ȃ��킯�ł͂Ȃ����A���Z�ł͈���Ȃ����w�ŗp������\���ł���..)�A
���ʂ͎g��Ȃ� (���̑��� $a_n \ge 0\, (n=1,...)$ ���g��) �̂ŁA
�����̂悤�ɂ݂͂��Ȃ���������Ȃ����A{\em �Ӗ��I�ɂ́A�u�����v���Ă���}
�Ƃ����ӂ��ɍl���ė~���B
}
�����Ӗ�����B

\[
a_n > 0 \Rightarrow \alpha \ge 0 \Leftrightarrow 
\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n \right) \ge 0
\]

�����ŁA�����ɂ͓����͂��Ă��Ȃ��̂��A�E�ɂ͓��������Ă��鎖
�ɒ��ӂ��悤�B
�܂��A$a_n\ge0 \Rightarrow a_n>0$ �Ȃ̂ŁA�������A
$\displaystyle
a_n\ge0 \Rightarrow
\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right) \ge 0
$
�ƂȂ�A�����t���̕s�����́A�Ɍ�����ƌ����ł���
\footnote{
�������A�����Ƃ����Ă��t�̎��͂����Ȃ��B
}
��������B

���́A���̂悤�ɁA��ʂɎ������鐔��Ɋւ��Ă�\Inequality ��������̂�
������󂯓���鎖�ɂ��悤�B

\begin{Atr}[\Inequality]\DefAtr{\Inequality}
���� $\{a_n\}$ ���A��ɔ񕉂Ŏ����l $\alpha$ �����Ȃ�΁A
$\alpha$ �͔񕉂ł���B

���Ȃ킿�A

\begin{eqnarray*}
a_n > 0 (n=1,...) \mbox{����} \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
&\Rightarrow&
\alpha \ge 0
\end{eqnarray*}

�����藧�B

\end{Atr}

\ifx01
�܂��A�قځA���炩�ł͂��邪�A
���̐������A�Ɍ��̐����Ƃ��āA�󂯓���Ă������Ƃɂ���B
\begin{Atr}
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\]
�ŁA
\[
\lim_{x\rightarrow\alpha} f(x) = \beta
\]
�Ȃ�΁A
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) = \beta
\]
�ł���
\footnote{
������A�u�A���I�ɋߕt���v�Ȃ�΁A
�u��є�тɎ���Ă��ߕt���v���낤�Ƃ����A
{\em ���ϓI�Ȋ��o}��\�������ɉ߂��Ȃ��B
}
�B
\end{Atr}
\fi

\Incrize ��A��E�����l�ɒ�`����A�ȉ��̒藝��������B

\begin{Thm}[\ToUpper]\DefThm{\ToUpper}
\Incrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ ����E $M$ �����Ă΁A��������B

$b_n = - a_n$ �Ƃ��āA���� $\{ b_n \}\, (n=1,...)$ �����ƁA
����́A\Decrize �ł���A
$-M$ �Ƃ������E�����݂���̂ŁA
\ToLower(\RefAtr{\ToLower}) ���A����$\alpha$ �����݂��A
���� $\{ b_n \}\, (n=1,...)$ �́A$\alpha$�Ɏ�������B
���������āA����\Incrize $\{ a_n \}\, (n=1,...)$ �́A$-\alpha$ �Ɏ�������B
\end{Thm}

���̓�̖��肩��A���̒藝(\Nest)��������B

\begin{Thm}[\Nest]\DefThm{\Nest}
��̐��� $\{a_n\},\, \{b_n\}$ �ɑ΂��āA���̊֌W����������Ƃ���B
\[
a_1 \le a_2 \le .. \le a_i \le .. \le b_i \le .. \le b_2 \le b_1
\]
���̎��A���̓�̐���́A���ꂼ��A$\alpha,\, \beta$ �Ɏ������āA
���̐����𖞂��B
\[
a_i \le \lim_{n\rightarrow\infty} a_n
= \alpha \le \beta =
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n \le b_i
\]

�܂��A���� $\{a_n\}$ ���l����ƁA����� $b_1$ �Ƃ�����E������\Incrize �ł���B
�]���āA\ToUpper(\RefThm{\ToUpper}) ���A����$\alpha$ �����݂��A����Ɏ�������B
���l�ɁA $\{b_n\}$ ���A�������鎖���A
\ToLower(\RefAtr{\ToLower}) ���玦�������ł���B

�c��́A$\alpha \le \beta$ �Ƃ����֌W���������邩 ? �Ƃ������ł���B
�����ŁA���̕s���������藧�����A���Ɏ����B

\ifx01
�w���@
\footnote{
�܂�����A�w���@�ł���B
���R�͊ȒP�ŁA�����Ɋւ��Ė��m�Ȓ�`(�K�v�\������)��
������Ă��Ȃ��̂ŁA���̒�`���炱�̐����������Ƃ�����i�����Ȃ��B
�������Ȃ���A���̐���(�K�v����)���^�����Ă���̂ŁA
�u���̐����𖞂��Ȃ��ꍇ�͎��������Ƃ͂����Ȃ��v�Ƃ����`�ŁA
{\em �ے�̌`�̐���} �𓾂鎖���ł���B
�����āA����{\em �ے�̌`�̐���} ���g���ؖ��̎�@���A�w���@�ɂȂ�킯�ł���B
}
�Ŏ����B
\fi

�܂��A���� $\{ c_n \}$ �� $c_n = b_n - a_n$ �ƒu�����ɂ��悤�B
����ƁA������A$\{ c_n \}$ ��\Decrize �ŁA���� $0$ �����E�Ƃ��Ď��B
���������āA$\gamma \ge 0$ �ƂȂ�l�Ɏ�������(\RefThm{\Positivity})�B

���ꂩ��A

\[
\beta-\alpha
=
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n
-
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n
=
\lim_{n\rightarrow\infty} (b_n-a_n)
=
\lim_{n\rightarrow\infty} c_n
=
\gamma \ge 0
\]

�ƂȂ�̂ŁA$\beta-\alpha\ge 0$ ���Ȃ킿�A$\beta\ge\alpha$ �ƂȂ�B
\end{Thm}

�����𗘗p����ƁA���̗L�p�Ȓ藝(\Squeeze)���ؖ��ł���B
\begin{Thm}[\Squeeze]\DefThm{\Squeeze}
\Nest(\RefThm{\Nest}) �̉���ɉ����A
�X�ɁA$\gamma=0$ �Ɖ��肷��B

���̎��A
\[ 
\lim_{n\rightarrow\infty} b_n
=
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n
\]
�ł���B

����́A$\gamma=0$ �Ȃ̂ŁA
$\beta-\alpha=\gamma=0$
�ƂȂ�A
$\beta=\alpha$
���������邩��ł���B
\end{Thm}

\subsection{\Squeeze �ɂ�� \Intermediate �̏ؖ�}

\Intermediate �̉���A���Ȃ킿�A
��� $[a,b]$ �Œ�`���ꂽ�֐� $f(x)$ ��
�J��� $(a,b)$ �ŘA���ŁA$f(a)<f(b)$ �𖞂����A
$M \in (a,b)$ �ƂȂ�C�ӂ� $M$ �ɑ΂��āA
�O�̐���$\{a_n\},\, \{b_n\},\, \{c_n\}$���A
���̂悤�ȑQ������p���āA���ꂼ���`����B
\begin{eqnarray*}
a_{n+1}
&=&
\left\{
\begin{array}{cl}
a & ( n = 0 \mbox{�̎�} )
\\
c_n & ( f(c_n) < M \mbox{�̎�} )
\\
a_n & ( \mbox{���̑��̎�} )
\end{array}
\right.
\\
b_{n+1}
&=&
\left\{
\begin{array}{cl}
b & ( n = 0 \mbox{�̎�} )
\\
c_n & ( M \le f(c_n) \mbox{�̎�} )
\\
b_n & ( \mbox{���̑��̎�} )
\end{array}
\right.
\\
c_n
&=&
\frac{a_n+b_n}{2}
\end{eqnarray*}

�����̐���ɑ΂��āA���̐��������藧��
\footnote{
���́A$n$ �Ɋւ���A���w�I�A�[�@�ɂ���āA�ؖ����鎖���ł���B
}
�B
\begin{eqnarray*}
a_n \le a_{n+1} \le &c_n& \le b_{n+1} \le b_n
\\
b_n - a_n &=& \frac{b-a}{2^{n-1}}
\\
f(a_n) < &M& \le f(b_n)
\end{eqnarray*}

���̎�����A���̎����������B
\begin{Thm}
���� $c \in (a,b)$ �����݂��A
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = c = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n (=\lim_{n\rightarrow\infty} c_n )
$
���A���� $c$ �ɑ΂��āA
$
f(c)=M
$
�ł���B

�Ȃ��Ȃ�A$\{a_n\}$ ��\Incrize �A$\{b_n\}$ ��\Decrize �ŁA
\Squeeze(\RefThm{\Squeeze})�̏����𖞂��B
����āA���� $c \in (a,b)$ �����݂��A
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = c = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n
$
�ƂȂ�B

�X�ɁA�֐� $f(x)$ �̘A��������A
$\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty}f( a_n)
=
f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\right)
=
f(c)
=
f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} b_n\right)
=
\lim_{n\rightarrow\infty}f( b_n)
$
�ł���B
���Ȃ킿�A���� $\{ f(a_n) \}, \{ f(b_n) \} $ �͎������A����
�����l�� $f(c)$ �ł���B

����ƁA
$\displaystyle
f(a_n) \le M
$
����A\RefAtr{\Inequality}���A
$\displaystyle
f(c) = \left(\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \right) \le M
$
�ƂȂ�A
$f(c)\le M$
��������B

���l�ɂ��āA$M\le f(b_n)$ �𗘗p���āA
$M \le f(c)$
�����藧�̂ŁA���̓����
$f(c) \le M \le f(c)$
���Ȃ킿�A
$f(c)=M$
�����藧�B
\end{Thm}

���̌��ʂ��A���߂�\Intermediate(\RefThm{\Intermediate})�ł���B

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{wikipedia-rolle} wikipedia,
``�����̒藝'',\hspace*{\fill}

\verb|http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86|

\bibitem{wikipedia-mean} wikipedia,
``���ϒl�̒藝'',\hspace*{\fill}
\verb|http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86|

\bibitem{ipe-mean} ipe@jp, 
``�藝�F���ϒl�藝 mean value theorem, law of the mean'',\hspace*{\fill}

\verb|http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/|
\verb|Differentiation/Differential1VarFnctn/TheoremRolleMeanValue.htm|

\ifx01
\bibitem{analytically-continuable} �L�]���F, ``��v�̒藝'',
\hspace*{\fill}

\verb|http://homepage2.nifty.com/eman/math/imaginary07.html|
\fi
\end{thebibliography}

\end{document}
