%%
%%	sample-20151020.tex
%%
%%	このファイルは、base.tex をまず、コピーして作る
%%

%%
%%	'%' はコメントの始まりを意味する
%%	学生用の典型例にするには、現在の行の頭に '%' を入れ、次の行頭の '%' を取り除く
%%

\documentclass[a4paper]{jsarticle}

%%
%%	追加機能の宣言
%%
%%	ここでは、「枠」をつけるために、ascmac を利用しています。

\usepackage{ascmac}	% cf. http://www.wannabies.net/tex/howto/waku.html

%%
%%	個人固有の情報
%%
%%	自分の名前、所属、連絡先を記述しておく
%%		連絡先のメールアドレスは、プライバシーの観点から削除してもよい
%%

\author{栗野 俊一\thanks{日本大学理工学部数学科 講師{\tt (kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp)}}}
%\author{苗字 名前\thanks{日本大学理工学部数学科 学生番号 QQQQ {\tt \verb|(qqqq@g.nihon-u.ac.jp)|}}}
%\author{苗字 名前\thanks{日本大学理工学部数学科 学生番号 QQQQ}} % メール無し版

%%
%%	文章の公開日時
%%
%%		レポートの場合は、「出題日」にすること
%%

%%%\date{Ver. 0.01 (2010/05/01 版)}
%%%\date{Ver. 0.02 (2011/06/14 版)}
%%%\date{Ver. 0.03 (2012/05/29 版)}
%%%\date{Ver. 0.03 (2012/05/29 版)}
%%%\date{Ver. 0.03a (2012/06/12 版)}
%%%\date{Ver. 0.04 (2013/06/04 版)}
\date{Ver. 0.05 (2015/10/20 版)}	% 「今日」にしたい場合は、単に \date を削ればよい
%\date{}		% 表示したくない場合

%%
%%	文章のタイトル
%%

%\title{コンピュータ概論のレポート}
\title{\TeX で色々な数式を記述する}	% タイトルを変更

%%
%%	文章の開始
%%

\begin{document}
\maketitle		% 表題を表示させる

%%
%%	本文開始
%%

%%% ここに「本文」を入れる。

\section{\TeX の基本}	% 「節」は、「\section{節の表題}」で開始する

\subsection{文章}

\TeX で文章を作成する場合、まずは、base.tex の「本文」の部分に普通に
日本語の文字列を入力します。すると、その入力された文章が、
そのまま{\em 整形}されて表示されるようになります。

  \begin{itembox}[l]{非整形文章}
    \begin{verbatim}
例えば、\TeX の文中に、こんなふうに、いい加減に、
文章の途
中に改行を入れてみます。
そうやって、長い文を、複数の行に分けて記入します。
もちろん、一行の中に複数の文を入れてもかまいませんが、
それはとっても{\em 編集しにくい文章}になってしまうわけです。

これは、\TeX の良いところです。
なぜなら、「表示に都合が良い形が、必ずしも編集に都合が良いとは限らない」からです。
\TeX では「編集しやすい形で内容を編集」し、
それを自動的に「表示に都合が良い形に変換して表示」してくれます。
だから、\TeX の利用者は、
「あまり表示結果の事を気にせず、{\em 内容の作成に専念}する」
事ができます。
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

これは、TeX で変換すると次のように整形され、右揃えして表示されます。
また、空行があると、段落の区切と解釈され、段落をわけて
\footnote{もちろん、日本語の習慣にあわせて、段落の頭は、一文字下げもしてくれます。}
くれます。

  \begin{itembox}[l]{整形後の文章}
\hspace*{2ex}例えば、\TeX の文中に、こんなふうに、いい加減に、
文章の途
中に改行を入れてみます。
そうやって、長い文を、複数の行に分けて記入します。
もちろん、一行の中に複数の文を入れてもかまいませんが、
それはとっても{\em 編集しにくい文章}になってしまうわけです。

\hspace*{2ex}これは、\TeX の良いところです。
なぜなら、「表示に都合が良い形が、必ずしも編集に都合が良いとは限らない」からです。
\TeX では「編集しやすい形で内容を編集」し、
それを自動的に「表示に都合が良い形に変換して表示」してくれます。
だから、\TeX の利用者は、
「あまり表示結果の事を気にせず、{\em 内容の作成に専念}する」
事ができます。
  \end{itembox}

\subsection{マクロ}

特別な表示 ( 例えば、数式 ) を行いたい場合は、通常、「\verb|\|」( バッ
クスラッシュ、あるいは円マーク「\yen 」) の後に英字列を並べたもの( 例え
ば、「\verb|\TeX|」や、「\yen TeX」など、これは 「\TeX」と表示される )
を記入します。

これらは、\TeX にとって、特別な意味があり、これを他の文字列と区別して、
「マクロ」と呼んでいます
\footnote{これをなぜ、「マクロ」と呼ぶのかは、後日説明します。}
。

\TeX で学ぶ事の一つは、
どのようなマクロがあり、
また、それがどのような影響を持っているかを知る事です。

\subsection{注意 : バックスラッシュと円マーク}

テキストや、Web 上での表記が「\verb|\|」なのに、
普段利用する時には「\yen 」を使うのは
「日本の特殊事情
\footnote{
コンピュータでは、コード(文字を表現する数値)に対して
どの文字(の表示の形[フォント])を表示するかの表
(文字コード表)を定め、
その表に基いて、文字の表示を行っている。

海外では、ASCII コード表 (
主に、半角文字に対応する数値の表で、
数値 0x5C には \verb|\| [バックスラッシュ]
を対応させる ) が利用されるが
日本では JIS X 0201 コード表 (
ASCII の範囲では、0x5C 以外は同じフォントだが、
0x5C だけ\yen [円マーク] に対応させる ) 
が利用されているため。
}
」だと思ってください。

以下、この文章は、「\verb|\|」を使いますが、
皆さんは、すべてこれを「\yen 」に置き換えて考えてください。

\section{数式の基本}

\TeX の中で数式を利用する場合、
その数式が文中にあるか、
それとも段落として独立しているかを区別する必要があります。

\subsection{数式を文中で利用する場合}	% 「小節」は、「\subsection{小節の表題}」で開始する

数式を文中で利用する場合は、数式を「\$」で挟む必要があります。
例えば、次のようにします。

  \begin{itembox}[l]{文中に式を入れる例(\TeX)}
    \begin{verbatim}
文中に数式$y=\frac{1}{x}$を入れた場合。
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

ここで、\verb|$\frac$|は分数を表現するマクロです。
これは、次のように表示されます。

  \begin{itembox}[l]{文中に式を入れる例(タイプセット後)}
文中に数式$y=\frac{1}{x}$を入れた場合。
  \end{itembox}

\subsection{数式を段落として独立させる場合}

数式を段落として独立させる場合は「\verb|\[|」と「\verb|\]|」で挟みます。

  \begin{itembox}[l]{段落としての数式(\TeX)}
    \begin{verbatim}
段落として数式
\[
y=\frac{1}{x}
\]
を入れる場合。
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

これは、次のように表示されます。

  \begin{itembox}[l]{段落としての数式(タイプセット後)}
段落として数式
\[
y=\frac{1}{x}
\]
を入れる場合。
  \end{itembox}

このように、
\$ と \$ や、
\verb|\[| と \verb|\]| に
挟まれた部分は、「数式モードになっている」と言います。

\subsection{文中でも数式を大きく表示させたい場合}

文中の数式と、段落の場合の数式では、色々と表示が異ります。
上記の例のように分数や、
総和などを利用する場合は、大きさや位置が変化します。

  \begin{itembox}[l]{文中の数式(\TeX)}
    \begin{verbatim}
文中に分数 $y=\frac{1}{x}$ や、
総和 $\sum_{i=1}^{n}(2\times i-1) = n^2$ を入れると
不格好です。

次のように段落として、記述すれば、綺麗なのですが。

\[
y=\frac{1}{x}
\]

\[
\sum_{i=1}^{n}(2\times i-1) = n^2
\]
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

ここで、\verb|\sum|は総和を、\verb|\times| は、積を表すマクロです。
これは、次のように表示されます。

  \begin{itembox}[l]{文中の数式(タイプセット後)}
文中に分数 $y=\frac{1}{x}$ や、
総和 $\sum_{i=1}^{n}(2\times i-1) = n^2$ を入れると
不格好です。

次のように段落として、記述すれば、綺麗なのですが。

\[
y=\frac{1}{x}
\]

\[
\sum_{i=1}^{n}(2\times i-1) = n^2
\]

  \end{itembox}

このような場合は、\verb|\displaystyle| 
というマクロを先行させれば綺麗な表記になります。
ただし、行間が空くので、数式が綺麗でも、ページとしてはちょっと不格好になります。

  \begin{itembox}[l]{displaystyle の利用(\TeX)}
文中の数式でも\verb|$\displaystyle\frac{1}{x}$| のようにできます。
  \end{itembox}

これは、次のように表示されます。

  \begin{itembox}[l]{displaystyle の利用(タイプセット後)}
文中の数式でも$\displaystyle\frac{1}{x}$ のようにできます。
  \end{itembox}

%%
%%
%%

\section{色々な数式}

\subsection{数や変数}

数字列からなる数値や、英字 1 文字からなる変数
\footnote{
数式の世界では変数を 1 文字で表す習慣があります。
従って、英字が並んでいる場合 ( 例えば $xyz$ の場合 ) は、
複数の変数の積を表現している
( すなわち $x\times y \times z$ の 「$\times$」を省略した記法 )
と解釈される事に注意してください。
}
は、入力したものが、そのまま表示されます。
ただし、フォントが{\em イタリック}に変化し、
数式内の変数や数値である(数式モードである)事が解ります。

  \begin{itembox}[l]{数式内の英字(\TeX)}
ふつうに「123」や「xyz」とした場合と数式モードにした
「\verb|$123$|」や「\verb|$xyz$|」では
微妙に表示が異ります。
  \end{itembox}

  \begin{itembox}[l]{数式内の英字(タイプセット後)}
ふつうに「123」や「xyz」とした場合と数式モードにした
「$123$」や「$xyz$」では
微妙に表示が異ります。
  \end{itembox}

\subsection{指数や添字}

指数や、添字を付ける場合は、「\verb|^|」や「\verb|_|」を使います。

  \begin{itembox}[l]{上付き、下付き文字(\TeX)}
指数は、\verb|$x^2$|のように「\verb|^|」を利用し、
添字は\verb|$x_i$|のように「\verb|_|」を利用します。
  \end{itembox}

  \begin{itembox}[l]{上付、下付文字(タイプセット後)}
指数は、$x^2$のように「\verb|^|」を利用し、
添字は$x_i$のように「\verb|_|」を利用します。
  \end{itembox}

\subsection{範囲指定}

上記の「\verb|^|」や「\verb|_|」は、
後にくる「一つのもの」だけを、指数や、添字として扱います。
例えば、良くある失敗は、次のようなものです。

  \begin{itembox}[l]{上付き、下付き文字の範囲の指定の失敗例}
\verb|$x^10$|とすると$x^10$になってしまい、$x^{10}$とならない。
  \end{itembox}

もし、指数や添字の範囲を指定したい場合
\footnote{逆に言えば、指数や添字の長さが 1 でない場合は、
範囲指定が必要なわけですが、一々、文字数を考えるのは面倒ですから、
「かならず、範囲指定をする」と「決めておく」と良いでしょう。}
は、その範囲を「\verb|{|」と「\verb|}|」(ブレース)とで囲います。

  \begin{itembox}[l]{ブレースによる上付き、下付き文字の範囲の指定}
\verb|$x^{10}$|とすると、$x^{10}$となって嬉しい。
これを利用すれば、\verb|$\displaystyle x^{x^{x^x}}$|などとして、
$\displaystyle x^{x^{x^x}}$ のような事もできますし、
\verb|$x_i-1$|と \verb|$x_{i-1}$| とすることにより、
$x_i-1$ と $x_{i-1}$ を書き分ける事が可能になります。
  \end{itembox}

この「\verb|{|」と「\verb|}|」を利用した、
範囲の指定は、色々な所で利用するので、
憶えておきましょう。

\subsection{関数名}

三角関数名などをそのまま書くと、変数の積と区別が付ません。
そこで、よく利用される関数に関しては、
予め、その関数に対応したマクロが定義されているので、それを利用します。

  \begin{itembox}[l]{関数名}
\verb|$sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$| と書くと、
$sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ となって、
関数のようにみえません。

このような場合は、マクロ\verb|\sin|を利用して、
\verb|$\sin{(\frac{\pi}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$| とすれば、
$\sin{(\frac{\pi}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$となって、
関数のようにみえます。
  \end{itembox}

\section{数学科の科目の数式}

数学科一年で学ぶ数学科の科目の数式を \TeX で表現してみましょう
\footnote{担当の先生にお願いすれば、配布されるプリントの\TeX のファイルが
入手できると思います。是非、お願いしてみよう。}。

\subsection{微分積分学}

微分積分学では、極限や積分などを利用します。

数列の極限は、

  \begin{itembox}[l]{極限値(\TeX)}
    \begin{verbatim}
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} = 0
\]
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

とすると、

  \begin{itembox}[l]{極限値(タイプセット後)}
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} = 0
\]
  \end{itembox}

となります。

件の$\epsilon-N$ 論法ですが、

  \begin{itembox}[l]{$\epsilon-N$ 論法(\TeX)}
    \begin{verbatim}
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\, \Leftrightarrow \,
\forall \epsilon > 0 \,
   \exists N_0\, s.t.\,
     [
        \forall n \ge N_0 \Rightarrow | a_n - \alpha | < \epsilon
     ]
\]
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

として、

  \begin{itembox}[l]{$\epsilon-N$ 論法(タイプセット後)}
\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \alpha
\, \Leftrightarrow \,
\forall \epsilon > 0 \,
   \exists N_0\, s.t.\,
     [
        \forall n \ge N_0 \Rightarrow | a_n - \alpha | < \epsilon
     ]
\]
  \end{itembox}

といった感じ。

微分は、

  \begin{itembox}[l]{微分(\TeX)}
    \begin{verbatim}
\[
\frac{d^2f}{dx^2} = f''(x) = f^{(2)}(x)
\]
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

とすれば、

  \begin{itembox}[l]{微分(タイプセット後)}
\[
\frac{d^2f}{dx^2} = f''(x) = f^{(2)}(x)
\]
  \end{itembox}

となります。

積分は、

  \begin{itembox}[l]{積分(\TeX)}
    \begin{verbatim}
\[
\int{x}\, dx = x^2 + C\,
\mbox{($C$ は積分定数)},\,
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{4}
\]
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

とすれば、

  \begin{itembox}[l]{積分(タイプセット後)}
\[
\int{x}\, dx = x^2 + C\,
\mbox{($C$ は積分定数)},\,
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{4}
\]
  \end{itembox}

となります。\verb|\,| は、数式モード内で利用し、
少し空白を入れるマクロです。
数式モードでは、ほとんどの場合空白は無視されるので、
明示的に空白を入れたい場合などに重宝します。

\subsection{代数学幾何学(線形代数)}

ベクトルや行列は、数が並んでいるものを扱います。このような場合は
\verb|\begin{array}| 〜 \verb|\end{array}| を利用します。
縦の長さは、行の長さになります。
また、横の長さは、\verb|\begin{array}| の後にその個数
(ベクトルの場合は一個なので \verb|{c}| とし、3 列の場合は、
その個数を表すために\verb|{ccc}| と、「c」の個数で、列の個数を指定します )
を表現します。

例えば、ベクトルや行列は次のように表現します。

  \begin{itembox}[l]{ベクトルや行列(\TeX)}

    \begin{verbatim}
\[
\overrightarrow{a} =
  \left(
    \begin{array}{c}
      1 \\
      2 \\
      3
    \end{array}
  \right)
, \,
A =
  \left(
    \begin{array}{ccc}
      1 & 2 & 3\\
      4 & 5 & 6\\
      7 & 8 & 9
    \end{array}
  \right)
\]
    \end{verbatim}
  \end{itembox}

とすれば、

  \begin{itembox}[l]{ベクトルや行列(タイプセット後)}
\[
\overrightarrow{a} =
  \left(
    \begin{array}{ccc}
      1 \\
      2 \\
      3
    \end{array}
  \right)
, \,
A =
  \left(
    \begin{array}{ccc}
      1 & 2 & 3\\
      4 & 5 & 6\\
      7 & 8 & 9
    \end{array}
  \right)
\]
  \end{itembox}

となります。

%%
%%
%%

\section{Mathematica の利用}

数式の計算を手作業でしたくない場合や、
そもそも \TeX で、その式をどうやって表現してよいか解らない場合
\footnote{
その場合は、当然、「ググる」のが正しいが、その他にも.. という話。
}
に、それを {\em Mathematica に聞いてしまう} という手もあります。

Mathematica には、TeXForm という関数があり、
「Mathematica の式」を TeXForm に渡すと、
「\TeX の式の表現」が表示されます。

後は、これを\TeX ファイルの中に Copy \& Past するだけです。

%%
%%	本文終了
%%

\end{document}

%%
%%	ファイルの終了
%%
