直接法で利用された方法 (2)

「整数係数の(二次元)方程式の有理数解」の性質
次の「整数係数(a_n != 0)」の方程式の解が有理数 q=m/n (m,n \in Z) の時
a_nx^2 + a_{n-1} x^{n-1} + .. + a_0 = 0 (a_i \in Z )
「n は a_n の約数で、m は a_0 の約数になる」という性質
証明の概要
\sqrt{c}, c \in Z  は、方程式 x^2-c=0 の解
これの係数は 1, 0, c なので、整数係数の方程式になっている
ところが、この方程式の有理数解があるとすれば、c の約数に+/-を付けたもの(有限個)になる
ところが、それらを具体的に求めて、この方程式に代入しても解にならない事がわかる
すなわち、有理数で、x^2-c=0 の解になるものはないので、
x^2-c=0 の解である \sqrt{c} に等しくなる有理数は存在しない
よって、 \sqrt{c} は有理数でない。
採点の例
「方程式の係数が『整数』」という「条件」が明記されていない